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97. Kapitel.

positivem n abbrechend, in anderen Fällen unendlich verlaufend, dasAlgebraische mit dem Transcendenten in eine Formel vereinigte; einBeweis wurde nicht gegeben. Dafür erbrachte ihn Jakob Hermann 1 )im Augustheft 1703 derselben Zeitschrift. Der Beweis stützte sichauf den sogenannten ptolemäischen Lehrsatz vom Sehnenviereck.

Hermann befand sich fortwährend in engster Fühlung mit seinemLehrer Jakob Bernoulli , und dieser kannte Hermann’s Aufsatz, Her-mann einen solchen von ihm, bevor beide im Druck erschienen. DerBeruoulli’sche Aufsatz kam in dem Jahrgange 1702 der Abhandlungender Academie des Sciences heraus 2 ). Auch Jakob Bernoulli be-gründete die Formel der Winkelvervielfachung geometrisch und zwarin doppelter Weise. Einmal machte er den Uebergang von einemBogen zum doppelten, von diesem zum vierfachen u. s. w. und zeigtenun induetiv, wie die (Joefficienten der einzelnen Glieder gebildetseien, um das Gesetz dieser Bildung auch bei anderen Vervielfachungenals fortgesetzten Verdoppelungen anzuwenden. Das andere Mal liesser die Bötren, deren Sehnen ermittelt werden sollten, in arithmetischerReihe wachsen, so dass der Reihe nach der doppelte, der dreifache,der vierfache, . . . der «fache Bogen untersucht wurde.

Nun nahm Johann Bernoulli 3 ) wieder das Wort. Er ver-öffentlichte in ebendemselben Jahrgange 1702 der Abhandlungen derAcademie des Sciences einen Aufsatz, der zunächst mit Winkelverviel-fachung nicht im Geringsten zusammenzuhängen schien. Es handeltesich um die jüngst durch Leibniz und ziemlich gleichzeitig durchJohann Bernoulli mittels Zerlegung in Partialbrüche bewerkstelligteIntegration rationalgebrochener Ausdrücke, von der im 93. Kapiteldie Rede war. Bei dieser Gelegenheit lehrte Johann Bernoulli die

Umformung h Jp_ z t dg = ^dt mittels z = und die Umfor-mung ~ dz = -- dt mittels g — ^ , 1 - ]/— i. Der

Ueber^au» von einem Arcustangens zum Logarithmen einerimaginären Zahl war damit vollzogen.

Es mag wohl als auffallend bezeichnet werden, dass dieser Loya-rithnie imayinaire, wie Johann Bernoulli sich ausdrückte, keinerleiAnstoss erregte und von Niemand in Zweifel gezogen wurde, auchdann nicht, als er ihn im Junihefte 1712 der A. E. mit der Bogen-vervielfachung in Verbindung brachte' 1 ). Johann Bernoulli nahmirgend einen Bogen A, einen zweiten B = nA. Als Einheit war derHalbmesser gewählt und tang A — x, tang B = y gesetzt. Daraus

’) A. K. 1703 pag. 345 — 351. *) Jac. Bernoulli Opera II, 9-1—999.

®) Job. Bernoulli Opera I, 393—400. 4 ) Ebenda I, 511—514.