Reihenlelire. Differenzenrechnung.

J49

folgt einestheils dA = ff— und dB = ff . , anderntheils dB = ndA,° x-+l ?/ +1

, (/i/ »irfx , . ,

cilso * . = . . beziehungsweise

y- -)- 1 x 2 + 1 ’

dy

y — v'-

» 4 x

/-I

i* _

id

x+V-l

iä n j/-

2 /’ +ndx

dx, oder

1 ^ = x s + 1

Oie Integration dieser

l y+V—i x—V—iDifferentialgleichung liefert

lo g0/— ")/—l)— lo gG/+y— = V- D — «log(a;+y— l),

und der Uebergang von den Logarithmen zu den Zahlen lässt

y-V'^T = /x-V-IV;/ + ]/— 1 + ]/—!/

erkennen, woraus ( x — Y —l)' 1 . (; y-\~Y — l) = (x-\~Y— l)" . (y —j/U 0entsteht. Die auftretende unmögliche Grösse ]/— 1 bildet kein Tlin-derniss, weil sie sich weghebt 1 ). Das Gesetz, nach welchem y aus xsich bildet, werde bei genauem Zusehen als das nachfolgende erkannt:Man habe (x -(- 1)“ nach dem Binomialtheoreme in fallender Ordnungzu entwickeln; von den so entstehenden Gliedern nehme man, undzwar mit alternirendem Vorzeichen, die ungraden Glieder als Zähler,die graden als Nenner eines Bruches; der so entstehende Werth seihei ungradera n Tangente, bei gradem n Cotangente von uA. Ineiner Fortsetzung, welche das Juliheft 1712 der A. E. brachte 2 ),schrieb Johann vor, die Entwicklung von (1 —(— x) n nach steigendenBotenzen von x vorzunehmen und hierauf als Werth von y den Bruchanzuschreiben, der im Zähler die ungraden, im Nenner die gradenGlieder jener Entwicklung unter Einführung alternirender Vorzeichenbesitze. Die so aufgestellte Regel habe einen doppelten Vorzug vorder früheren Fassung, sie vermeide die Unterscheidung grader oderungrader n, und sie bleibe auch dann noch anwendbar, wenn n nichtganzzahlig gewählt worden sei.

Der Uebergang zwischen trigonometrischen Functionen einfacherund vielfacher Bögen war vollzogen. Ein verwandtes Gebiet bildetedie Aufsuchung eines Bogens, wenn eine trigonometrische Functiondesselben gegeben war, und auch hier haben wir einen nicht un-beträchtlichen Fortschritt zu bemerken. Gregory hatte (S. 72) die

Reihe x = tg x -tg x 3 -}- tg x 5 -^ tg x 1 -f- • • ■ gefunden, und

einen besonderen Fall dieser allgemeinen Formel stellte

7t

4

= 1

+ •••

*) nee obutat quod Y~ 1 quantitas imjiossibilis in illa reperiatur: ea enimin applieatinne ad speciale quadlibet exemplum reperietur in sinyulis aequationisterminis, et ideo per dirisionem toUetur. -) Job. Bernoulli Opera I, 514.

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 2. 23