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97. Kapitel.
vor Augen. Ihn hat Leibniz (S. 75) selbständig nachentdeckt, undauch De Lagny hat ihn 1(382 aufgefunden, wie er später gelegent-lich sich äusserte 1 ). Zur thatsächlichen Ausrechnung der Zahl n warfreilich diese Reihe nicht zu empfehlen. De Lagny berichtet im Zu-sammenhang mit der eben erwähnten Aeusserung, Ozanam habebemerkt, man müsse, um auch nur die Genauigkeit % — 3,14 zu er-reichen, mehr als 300 Stellen jener Reihe in Rechnung ziehen. Einezweckmässige Umformung der Gregory’schen Reihe gab dagegen JohnM achin, ein Astronom, der zur Untersuchungscommission im Priori-tätsstreite gehörte, und von dessen Berechnung der Zahl % wir (S. 295),als wir die Mitglieder jenes Ausschusses musterten, sagten, sie sei170G in Jones’ Synopsis palmariorum matheseos der Oeffentlichkeitübergeben worden. Machin’s Umformung beruht auf dem Kunst-griffe 2 ), einen Bogen zu finden, der selbst eine in die Berechnungsich leicht einfügende Tangente habe, und von welchem ein Viel-faches sich nur um einen geringen Betrag von ” unterscheide. Seiz. B. tg a = * , so ist
o 5 >
2 tg a
1 — (t gay
tg 2a = ^ und tg 4a
2 tg 2 a
1-Ttg^aj 2
120119 ‘
Nun ist tg -— = 1 von tg 4a nur um 1[y
Um dann
unterschieden, folglich liegt
1 7t
auch 4a = 4 arctgnahe bei .
° o 4
selbst zu erhalten,
wird von der Formel tg (A — B) = t . Lfä ^.. Gebrauch gemacht.
tg A — tg Btg A - tg B
120
Setzt man A = 4 a, 77 = ” , so wird tg (^4 u—~^) = ,
119
also 4 a — w = arctg * und
4 u ’iöy
= 4a
arctg = 4 arctg |
arctg
4 ö 239 ö 5 ° 239
Die zweimal in Anwendung gebrachte Gregory’sche Formel liefert also
1
*. = =4( 1 _ 1 + 1 _ 1 _i
4 V 5 3 . ö s ' 5.5 6 7 . 5' ~
-(
1
239
3.239 3
+ 1 , 1 . + ...)
> 5.239 5 7.239' ‘ /
und mit Hilfe dieser Reihen hat Machin auf 100 Decimalstellen
4
genau ausgerechnet.