Reihenlehre. Differenzenrechnung.

3. liefere die Division, sofern beide Glieder des Divi-sors einander gleich seien, einen vorher bekannten unend-lich grossen Quotienten, wenn die Glieder des Binomiumsvon einander abzuziehen, und Falsches, wenn jene zu addirenseien.

Yarignon fügte dann ähnliche Regeln für die Potenzentwicklungeines Binomiums bei negativ ganzzahligem Exponenten hinzu. Bezüg-lich der Entwicklung bei gebrochenem Exponenten gesteht er ein,noch kein abschliessendes Ergebniss gefunden zu haben. Am Anfangdes für die Lehre von der Reihenconvergenz hochwichtigen Aufsatzeserklärt Varignon, dessen Inhalt sei eigentlich schon seit October 1712druckfertig und nur äussere Hindernisse hätten die Veröffentlichungverzögert. Damit stimmt ein an Leibniz gerichteter Brief vom10. November 1712 überein 1 ), in welchem der Hauptsatz, wann dieDivision eine richtige Reihe ergebe, sich bereits vorfindet.

Wir haben (S. 352) mit Beziehung auf Grandi’s Reihe auch einenBriefwechsel zwischen Leibniz und Niclaus I. Bernoulli erwähnt.Dieser Briefwechsel betraf freilich nicht einzig die Reihe

1—1+l—lH—

die Giltigkeit von Reihen im Allgemeinen trat in Untersuchung.Niclaus I. Bernoulli warf am 25. October 1712 die Frage auf, wannwohl die Summe einer Reihe unmöglich werde, und beantwortete siesogleich dahin 2 !, das sei der Fall, wenn die Reihe

n{n — 1)(« — 21

n (n — 1)

1 -f UX -f-

heisse, oder aus dieser Reihe durch Addition, durch Multiplication,durch Differentiation entstehe, während x einen negativen, die Ein-heit überschreitenden Werth besitze und n eine echt oder unecht ge-brochene Zahl mit gradem Nenner sei. Divergenz der Reihe, heisstes in einem späteren Briefe 3 ) vom 7. April 1713, genüge nicht fürsich allein, um die Unmöglichkeit ihres Werthes darzuthun. So sei

1.4.7^103'6 . 9712

1 + T x +

x i —)—■•■

und

1.3.5

(1 — x)

1 + » x +

2 . 4.6

1 . 3 . 5 . 7

2 4 . 6.3

Beide Reihen seien divergent, wenn x > 1, aber dabei habe dieerste Reihe einen möglichen, die zweite einen imaginären Werth-

*1 Leibniz IV, 189. *) Ebenda III, 980. 3 ) Ebenda III. 982—984.