Keilienlehre. Differenzenrechnung.
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!k = «0 + «1*0 + «2*0 2 + «3*0* + «4'V + ' •
2/l = «0 + «1*1 + «2*1* + «3*1 3 + «1*1 4 + • •
Ul = «0 + «1*2 + «2*2 2 + «3*2 3 + «4*2 4 + ' '
'h = «0 + «1*3 + «2*3^ + «3*S 3 + «4*3 4 + * '
Ul = «0 + «1*1 + «2*4 2 + «3*4 3 + «4*4 4 + • •
deren Anzahl gleich der Anzahl der rechts vom Gleichheitszeichenbefindlichen Glieder, gleich der der gegebenen Punkte sein muss.Zieht man jede Gleichung von der nächstfolgenden ab und nenntVk +1 — Vk = dy k , so entsteht:
4y 0 = «■! (fl 4 — x 0 ) + a, ( x ! 2 — x Q 2 ) + fl 3 (flä 3 — x 0 3 ) + « 4 (flY* — xj) H-
z/y, = «1 (*2 — *0 + «2 (*2^ — *1 2 ) + «3(*2 3 — *1 3 ) + «l(*2 4 — *! 4 ) + ■ • '
zG/ 2 = fl x (a?, — X 2 ) + « 2 (^ 3 2 — X./) + fl 3 (fl :, 3 - fl-, 3 ) + fl., (.r 3 4 - - X./) + ■■■
Jtj 3 = a l (a : 4 — x s ) + «, (z 4 2 — x s 2 ) + « 3 (a ; 4 3 — x 3 3 ) + fl 4 (a 4 4 — fl- 3 4 ) -f • • •
und jedes der Glieder rechts vom Gleichheitszeichen, also auch dielinks angedeutete Summe dieser Glieder, ist durch den regelmässiggleichbleibenden Unterschied h der auf einander folgenden x, den manauch 4x nennen könnte, theilbar, ein Satz, den unter Anderen auchDe Sluse (S. 132) ausgesprochen hatte. Die Vollziehung der Division
jJ y ,
durch Jx liefert, wenn - Jx = z k gesetzt wird, die neuen Gleichungen:
z 0 = «i + «2 (*i + *o) + « 3 (*i 2 + *i*o + *o 2 )
-|- fl 4 (fl^i “I” Xi~Xq -j- fl’!fl: 0 “f - Xq ) “j -Z Y = «! + fl 2 [X 2 + fl?,) + fl 3 (fl :, 2 + *2*1 + *i 2 )
+ «l(*ä 3 + *2 2 *1 + *2*1 2 + *1 3 ) + • • •
*2 = «l + «2 (*3 + *2) + «3 (* 3 2 + *3*2 + *2 2 )
+ « 4 (*3 3 + *3 2 *2 + *3*2 2 + *2 3 ) -I-
2 3 = «1 -f fl, (aj 4 + x 3 ) + a s (x 4 2 + x 4 x s + fl- 3 2 )
+ «4(*4 3 + *4 2 *3 + *4*3 2 + *3 3 ) H-
Diese werden abermals jede von der nächstfolgenden abgezogen, undWerthe z/2 0 , zfz n zlz 2 ... werden dadurch ermittelt, deren jeder sichdurch Xk +2 — x k = 2zlx theilbar erweist. Man vollzieht die Divisiondz,
und setzt . — u k . Die Anzahl der Gleichungen, welche alsdann
Z zJ SC
der Untersuchung noch unterbreitet sind, ist naturgemäss wieder umdie Einheit vermindert. Die Gleichungen selbst heissen: