Zahlentheorie.

599

Differenzenreihe, d. li. auf die zweiten Differenzen von l 2 ", 2 2 ' 1 , 3 2n ,• • • (4 nf n erstrecken u. s. w. Die 2« teu Potenzen der aufeinander-folgenden Zahlen bilden aber eine arithmetische Reihe 2n U[T Ordnung,deren 2n te Differenzen alle unter einander gleich sind und zwar1 • 2 • 3 • • • (2 m) heissen. Das ist ein Satz, der schon lange bekanntwar, und dessen Erfindung De Lagny 1705 für sich in Anspruchnahm (S. 375). Nun ist aber das Product 1 • 2 • 3 • • • ('2«) durchdie Primzahl 4 n + 1 nicht theilbar, folglich kann unmöglich jededer genannten ersten Differenzen mit jener Theilbarkeit behaftet sein.

Euler war bei dieser Beweisführung von der Division vonDifferenzen (a -f- 1)"— « n durch eine Zahl p ausgegangen. WelcheReste stellen sich aber bei der Division der einzelnen Zahlen a*durch p heraus, welche insbesondere bei n = 2? Diese Frageknüpfte sich für ihn an jene Untersuchung an. Hier, sagt er 1 ),kommen viele ausgezeichnete Erscheinungen vor, durch deren Be-trachtung nicht geringes Licht auf die Natur der Zahlen fällt. Damitwar also die Lehre von den Potenzresten im Allgemeinen, von denquadratischen Resten insbesondere den Fachgenossen zur Be-achtung empfohlen, und wenige Seiten später wurden die Kunstaus-drücke Reste, rcsidua, und Nichtreste, nonresidua, gebildet 2 ),welche fortan Bürgerrecht in der Zahlentheorie haben sollten. Eulerzeigt, dass, wenn a < p, jedes (J;p -)- «I 2 durch p getheilt denselbenRest lässt wie « 2 , ferner auch (j> — «) 2 ebendenselben Rest, dass also

höchstens nur die Reste von l 2 , 2 2 , ••• ^ ^ , beziehungsweise von

(v,-j , wenn p grad ist, unter einander verschieden sein können. Erzeigt, dass also unter den Zahlen 0, 1, 2, ••• (j>—1) höchstens—--- 1 oder ^ , je nachdem p ungrad oder grad ist, Reste für p sein

können, dass, wenn unter den Resten die Zahl r sich findet, auchr 2 , r', kurz jedes r 3 ' 1 unter den Resten vorkojnmt, vorausgesetzt dassman übereinkommt, r"‘ statt derjenigen Zahl zu schreiben, welche beider Division von r"‘ durch p übrig bleibt. Ist ferner r ein gegen ptheilerfremder Rest, ist m > und ist r"‘ — r n = r"(_r m ~ n — 1)durch p theilbar, so muss diese Theilbarkeit von r"‘~ n — 1 oder von

r* — 1 herrühren, wo k nicht grösser als ^ sein kann 2 ). Sind r

und s Reste, so ist auch rs Rest. Sind r und rs gegen p theiler-fremde Reste, so ist auch s Rest. Ist von nun an p eine ungrade

’) Novi Commentarii Acadcmiae Petropolitanae ad annos 1754 et 1755.T. V, 14 Scholium. *) Kbenüa T. V, 19 Corollarium 4. 3 ) Ebenda T. V,

23—24.