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107. Kapitel.

Primzahl 2 q -j- 1, so lassen sich folgende Sätze behaupten: Unter denZahlen 1, 2, 3, • • • (2q) giebt es genau q Reste 1 ) und q Nicht-reste 2 ). Ein Rest mit einem Nichtrest vervielfacht giebt einen Nicht-rest. Das Product zweier Nichtreste ist ein Rest. Ergänzung einesRestes r, cnmplementum residui, nennt Euler die Zahl p — r oder- r, da ja np « durch a vertreten werden kann 3 ), und ähnlicher-weise gilt der mit — 1 vervielfachte Nichtrest als eine Ergänzung.Ist sowohl r als — r Rest, so haben alle Reste die Eigenschaft, dassihre Ergänzungen wieder Reste sind, d. h. die q Reste zerfallen in

2mal ^ Reste, deren jeder positiv und negativ auftritt. Das kann

aber nur dann stattfinden, wenn q = 2n, also p = 4» -f- 1 ist,während bei p = 4n-J- 3 keine Zahl gleichzeitig mit ihrer ErgänzungRest sein kann. Die Primzahlen zerfallen also auch in Ansehungdieser Untersuchung in die zwei Klassen von der Form An -f- 1 undAn -\- 3, wie sich diese Klassen bei der Frage der Quadratensummenaufdrängten. Damals war bewiesen worden, jede Primzahl An -(- 1sei Summe von zwei Quadraten. Eine andere Behauptung Fermat’sging dahin, jede Primzahl An -(- 3 sei die Summe von mindestensdrei, höchstens vier Quadraten, und nun sollen Schritte auf demWege auch diesen Satz zu beweisen erfolgen 4 ).

Wenn sich gezeigt hatte, r und — r könnten nur bei p = An-\- 1gleichzeitig Reste sein, so wird dieses bei jedem p — An -{- 1 ein-treffen, denn da jedes solches p = a 2 -|- b 2 , so wird sowohl a 1 als b 2kleiner als p sein. Beide Zahlen kommen unter den q quadratischenResten von p vor, und ist a 2 = r, so ist b 2 = p — r. Allerdings istdieser Beweis kein unmittelbarer 5 ). Ein weiterer Satz ist der, dassdas Product zweier Summen von je vier ganzzahligen Quadraten eineähnliche Summe liefert:

( « 2 -f- b 2 -)- c 2 + (F) ■ ( p 2 -)- q 2 + r 2 + s 2 ) = (ap -(- bq -f- er + ds ) 2+ (aq — bp + cs + ärf + (ar ^fbs — cp + dq ) 3+ (as + b r + cq — </p) 2 ,

wo einzelne der Zahlen «, b, c, d, p, q, r, s auch Null sein können.Daraus folgt aber, dass der Quotient zweier Summen von je vier

Quadraten

a s + I* + c 3 + d*?’ + « ! + d + s s :

wenn man ihn im Zähler und im

Nenner mit p 2 -j- q 2 -)- r 2 -(- s 2 vervielfacht, als Summe von vier

‘) Novi Commentarii Academiae Peiropolitanae nd annos 1754 et 1755.

T. V, 30 Tkeorema 8. *) Ebenda T. V, 31 Corollarium 2. s ) Ebenda

T. V, 30 Definitio und Corollarium 1. 4 ) Ebenda T. V, 3‘J—40 Scholium.

5 ) Ebenda T. V, 44 Scholium.