Zahlentheorie.

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Quadraten dargestellt werden kann, sofern man die Bedingung derGanzzaliligkeit fallen lässt. Aus diesem Satze folgt dann endlichmittels einiger Zwischensätze, welche wir überspringen, dass jedeganze oder gebrochene Zahl sich als Summe von höchstensvier ganzen oder gebrochenen Quadraten darstellen lässt.

Euler hat sich noch in demselben Bande in zwei sich unmittel-bar an einander anschliessenden Aufsätzen Q mit den Divisorensummen,welche zu den in der natürlichen Zahlenreihe aufeinander folgendenZahlen gehören, beschäftigt. Der Gegenstand hatte schon bei derArbeit über befreundete Zahlen (S. 595—596) seine Aufmerksamkeitso weit auf sich gezogen, dass er eine Tabelle der Divisorensummenvon Primzahlen und deren ersten Potenzen zusammenstellte. Jetztergänzte Euler diese Tabelle zu einer solchen der Divisorensummender Zahlen von 1 bis 100 und warf die Frage auf, ob die in derTabelle später erscheinenden Zahlen aus den ihnen vorhergehendenhergeleitet werden könnten. Dass Jmn— jm • Jn, so oft m und ntheilerfremd sind, war ja bekannt, aber Euler wünschte auch einemadditiven oder subtractiven Zusammenhänge der Divisorensummenauf die Spur zu kommen. Er bediente sich dabei folgender nichtsweniger als einwandsfreien Betrachtung. Er bildete das endloseProduct (1 — x) (1 — x 2 ) (1 — x s ) • ■ • und fand dasselbe alsx° — x 1 — x a -f - + x* — x 1 ' 1 — x u> -f- • • wo die Exponenten in

der Form 3,H , m enthalten sind, indem man m nach einander die

VVerthe 0, 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, ■ • • beilegt. Die Vorzeichen derGlieder folgen dem Gesetze, dass nach dem positiven Anfangsgliedeje ein Paar — mit einem Paare -f- abwechselt. Im zweiten Auf-sätze sucht er die ganz empirisch aufgestellte Bildungsweise durcheine Induction zu stützen. Dann geht er zu den Logarithmen derals gleich geltenden Ausdrücke über, d. h. er setzt:

log (1 — x) + log (1 — x 2 ) -f log (V — x 3 ) + • • •

= log (x° — X 1 — X 2 -f- jf -f- X 1 - ■ • •).

Differentiation nach x und nachfolgende Multiplication mit — x liefert:

x . 2x ! . 3a: 3 . _ x-{-2x- — 5x s — 7a: 7 +

1 — x ' 1 — x 1 ‘ 1 — x 3 ’ 1 — x — x* -|- x 6 + x’ • ■ ■

Die linksseitigen Brüche werden in unendliche Reihen verwandelt,deren Addition die neue Reihe x J 1 -j- x 2 f'l -f- x 3 J'd -f- x*j 4 -)- • • •hervorbringt. Diese Reihe wird mit dem Nenner des Bruches rechts

b Novi Commentarii Academiae Petropolitanae ad annos 1754 et 1755.T. V, 5‘J—74 (Observatio de summis divisorum) und 75—83 (Demonstratio theo-rematis circa ordinem in summis divisorum obscrvatum).

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. ,‘J9