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107. Kapitel.

vervielfacht und das Product dem Zähler des Bruches rechts glied-weise gleichgesetzt. So gelangt Euler zu Gleichungen von der Gestalt

Jn = j(n - 1) + ßn — 2) — ßu — 5) — ßn - 7)

+ /(» — 12 ) + /(» — 15 )- •

Die Vorzeichen geben die regelmässige Wiederkehr von -|—|-

zu erkennen. Die Heike bricht ab, sobald hinter dem J eine negative Zahl erscheinen würde. Kommt J(n — n) = J 0 vor, so ist fürdieses an sich unbestimmte Symbol der Werth n zu setzen. Die

von n jedesmal abzuziehenden Zahlen sind wieder die 3m mit

»« = -(-1, —1, -(-2, —2, -)- 3, —3 etc'. Die Prüfung der Formelan n = 1, 2, • • • 12 und an m = 101 giebt Richtiges.

lieber drei Abhandlungen, welche Euler in den Jahren 1750und 1757 der Petersburger Akademie zum Drucke übergab 1 ), könnenwir sehr rasch hinweggehen. Sie gehören insgesammt der Lehre an,welche man später als die von den Formen bezeichnet hat, und zwarsowohl der quadratischen als der cubischen Formen. ZahlreicheEinzelsätze sind erkannt, aber ein einheitlicher Gesichtspunkt ist nichtgewonnen, so dass man Euler wenigstens bis zu der Zeitgrenze,welche wir uns gesetzt haben, nicht als Schöpfer der Lehre von denFormen in dem Maasse bezeichnen darf, wie er es für die Lehre vonden quadratischen Resten und den Potenzresten überhaupt war.

Der Name Potenzrest kommt in einem Aufsatze Euler’svor, mit dessen Erwähnung wir unseren Bericht sekliessen müssen.Thcoremata circa residua ex divisionc jmtestatuni relicta 2 ) enthält vonbesonders bemerkenswerthen Ergebnissen, dass, wenn p Primzahl unda nicht durch p theilbar ist, es eine kleinste Zahl l geben müsse,welche hervorbringt, dass a l bei Division durch p den Rest 1 lässt;dass alsdann auch a 21 , a sl u. s. w. denselben Rest 1 lassen muss;dass die Zahlen 1, «, a 2 , • • • a i ~ 1 bei der Division durch p lauterverschiedene Reste entstehen lassen; dass ). ein Divisor von p — 1sein muss. Der Beweis dieses letzteren Satzes ist in sehr eigentümlicherWeise geführt. Ist cd um 1 grösser als ein Vielfaches von p unda u um r grösser als ein ebensolches, so muss auch + “ bei Divisiondurch p den Rest r lassen, und alle überhaupt bei der Division irgendeines a r durch p sich ergebenden Reste kommen bei der Division derZahlen 1, a, er, ■ • ■ cd-— 1 vor. Nun giebt es bei der Division durch pim Ganzen p — 1 mögliche Reste, folglich ist A — L Ist A <ip — 1,

') Kovi Commentarii Acadeniiae Petropolitanac ad annum 17öG et 1757.T. VI, 85—114, 155—184, 185—230. *) Ebenda 1758 et 1759. T. VII,

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