Reihen bis 1730.

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durch ihre Gesammtheit, bezeichnet Simpson als die Wahrscheinlich-keit, dass der mittlere Fehler von t Beobachtungen eine gewisseGrösse nicht überschreite, und eine an einem bestimmten Beispieleungestellte Zahlenrechnung giebt zu erkennen, dass bei sich häufendenBeobachtungen die Wahrscheinlichkeit, das arithmetische Mittel derBeobachtungen mit einem irgend erheblichen Fehler behaftet zu sehen,überaus rasch abnimmt. Das war der erste Schritt über Cotes’Gedanken, Beobachtungsfehler mit Gewichten zu vergleichen (S. 998),hinaus, und wieder war eine neue Gattung von Untersuchungen denLiebhabern der Wahrscheinlichkeitsrechnung erschlossen.

109. Kapitel.

II ei he ii bis 17.10.

Die Geschichte der Lehre von den Reihen, zu welcher wirgelangen, zeigt eine stattliche Entwicklung, so weit es sich um dieBeschallung immer neuen Reihenmaterials handelt, aber über die Benutzbarkeit der gebildeten unendlichen Reihen herrschen fast ausnahmslos Meinungen, welche eher einen Rückschritt gegen das im97. Kapitel Berichtete, als einen Fortschritt darstellen.

Dort wäre freilich auch der Ort gewesen, wo wir einen AufsatzGoldbach’s Specimen mcthodi ad summas serimn» von 1718 hättennennen sollen. Goldbach 1 ) hielt sich damals in Schweden auf undverkehrte viel mit dem dortigen Mathematiker Anders GabrielDuhre 2 ). Dieser hat nach aller Wahrscheinlichkeit den Aufsatz, dervon ziemlich geringer Bedeutung ist, an die Redaction der A. E.nach Leipzig geschickt, und dort kam er zum Abdrucke 3 ). Kaumhöheren Werth besitzt eine Abhandlung Goldbach’s von 1727, DeIransforniatione serierum 4 ). Eine Reihe B kann, wie Goldbach er-örtert, sehr wohl den gleichen W erth wie eine Reihe C besitzen, undaus B = C folgt B — C = 0, A + (B — C) = A, d. h. die ReiheA wird ohne W' erthveränderung umgeformt, wenn man zu ihr glied-weise B addirt und C subtrahirt, oder C addirt und B subtrahirt.Eine andere Umformung ist die folgende. Seien u, ß, y ■ ■ ■ beliebigeder Null näher und näher kommende Grössen, so ist unzweifelhaftD = 1 + « — a + j3 — ß -\- y — y -{-■■■ = l. Nimmt man nun

’) Eneström, Bibliotheca mathematica 1884, pag. 15—16 und 1887,

pag. 23—-24. ! ) Corresp. matli. (Fuss) II, 184. s ) A. E. 1720, pag. 27—31.

4 ) Commentarii Acadennae Vetropolitanae ad mimtm 1727, T. II, 30—34. Einigesinnentstellende Druckfehler sind in unserem Berichte verbessert.

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