109. Kapitel.

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nebst s

x — (n 4 D P 1 "*" 1 4 nx” + i

Der hier angewandte Kunst-

, so ist auch 1 —

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griff gewinnt alsbald für Euler den Charakter einer auch bei ver-wickelteren Reihen nützlichen Methode.

Wir kommen zu Euler’s Aufsatz De summis serierum recipro-mrum 1 ), in welchem er als Erster die Summation der reciprokenQuadratzahlen veröffentlichte und dadurch eine durch JohannBernoulli (S. 92) auf die Tagesordnung gesetzte Aufgabe löste.Euler’s Gedankengang ist folgender. Sei .s“ ein Bogen und y dessen

Sinus oder y = s - —* ; 3 + f ; 2 . “. 4 . 5 -

^.3 gß i t

4- ' --t ~— : —— 4- • ■ • = 0. Diese aus unendlich vielen

1 1 • 2 ■ 3 y 1 -2 ■ 3 ■ 4•5 y 1

Gliedern bestehende Gleichung ist unendlich hohen Grades in s undbesitzt deshalb unendlich viele Wurzeln, wie es in der That unendlieh viele Bögen giebt, welchen allen derselbe Sinus zukommt. Istp der Umfang des Halbkreises, A der kleinste arcsin y, so kann

arcsin y ausserdem auch noch die Werte ^ ^. ’ J

— p - 4, --'2p A,

t* besitzen, und da jedes Gleichungs-

polynom in so viele Factoren zerfällt als der Grad der Gleichungverlangt, da aus jedem Factor, indem man ihn = 0 setzt, eine Wurzel,beziehungsweise aus jeder Wurzel ein Factor ermittelt werden kann,s , S s s 6

so ist 0 =1 —

V 1 2 ■ 3y

0-4,) (i-

1 • 2 ■ 3 ■ 4 ■ 5 «

' )(i-

4 aJ V

+ •

S

-}> +

- (i - D

Nach

p — A/\ —p

einem bekannten Satze findet zwischen den Coefficienten der Gleichung

und ihren Wurzeln der Zusammenhang statt, dass der Coefficient der

ersten, zweiten, dritten • • • Potenz der Unbekannten sich als negative

Summe der Wurzeln, als Summe der Wurzelproducte zu je zweien,

als negative Summe der Wurzelproducte zu je dreien • • • erweist.

Heissen die Wurzeln einer Gleichung a, h, c • • •, ist a ihre Summe,

Ii die Summe ihrer Producte zu je zweien, y die Summe ihrer Pro-

ducte zu je dreien • • •, ist ferner a h c — P, rr 4" +

c 2 4^ • • • = Q, « 3 4" + c% + • • • = A u. s. w., so ist nach einem

nicht weniger bekannten Satze P = cc, Q = Pa — 2/3, E = Qa

— Pß 4- 3y, S = Ea — Qß 4- Py — 4d u. s. w. Im gegenwärtigen

■* 1' , d = 0 • • •, ferner a = -r ,

3 y’ ’ A ’

Falle ist « = —, ß = 0 y =

V ’ ' ’ ' l • 2 •

*) Commentarii Acudemiae Petropolilanae ad (ontos 1T.'!4 et 1735. T. VII,123 — 134.