Keilion bis 1738.

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h — ——. , c =--—r • ■ -. Demiiac-li ist P = —, Q = —z,

p — A ’ —}) — .1 y ’ L y 1 ’

li = ~Y — ; * , S — i — -~i — -—•- u. s. w. In diese allcemei-

y s 1 -2y’ y* 1-2 y 1 1-2-3 b

nen Formeln setzt Euler y — 1, wodurch A der kleinste arcsin 1 = ^ = q

wird, wenn q die Länge des Quadranten bezeichnet. Die einzelnenWurzeln A, p — A, — p — A, 2p + A, — 2p + A ■ ■ ■ sind dannq, — 3g, 5g, — 3 q, 5g • • -, wo jeder Werth paarweise auftritt.

Somit wird 1 = + I_ 1 + ...) U nd 2=f = i-I

+ . —yoder die Leihnizische Reihe ist gefunden. Die

Summe Q der Wurzelquadrate wird als gleichfalls = 1, ferner

Pi = ~, S = y , und die Summen der 5 ten , (5 len , 7 ten Wurzelpotenzen

finden sich als T = , V = y 2 _, W — • Man erhält daher die

Gleichungen

1 “vfc+i+s 1 » + "■) nebst F+ r- + h +^ V =J> r

i_A/i _ L_i_i_ ) nebst i_J_ I 1 _ 2 3 _ p 3

2 q 3 \1 3 3 3 ^5 8 } neD&I l 8 3 3 5 8 " "'~~T~sT

t = ?(f+^+ 5? + -) nebs ^+ 3 '+i+-=4=^r

---fi— 1 4-- —nebst -l—i-Li _ 5 2 6 _ 5 ^ 6

Ä = ?& + F+^+ ") nebst pr+F+^ + '" = tT

wo p überall die Zahl bedeutet, die heute tc heisst.

Aus diesen Reihen leitet Euler dann andere ab. Sei -4 -4- —

1 " • *> •»

1536p 6

960 ’

+ TT? + At +

3 5 1 4 !

s 8

4

i> p + + g7 + J7 + ’ ' ’ = S 4

u. s. w.

Er

erhält 08 — ^ p + & + gV + ‘ • • = ^ - Qi + ^ ^ H-)

und J (pr + ^ i H-) = j ■

p-

6

Aehnlicherweise

ist io ~ -i v + D + ¥ + h H-= — (t* + irr + {i H-) imd

10/1 . 1 . 1 . \ 16 p l p 4 „ . • , , ,

+F + ö‘ + ■■■) = IÖ-% = 9 Ö- Luler zei h rt ^dann,

wie ausser dem besonderen Werthe y = 1 auch andere Werthe vony eingeführt werden könnten, die wieder zu Reihensummirungen führen.Euler war der Erfinder dieser Reihensummen 1 ). Er hat 1736

‘) Das hat- Eneström in der Bibliotheca mnthematica 1890 pag. 22—24ausser allen Zweifel gestellt.