Reihen seit 1737.
643
der Coefficienten «, ß, y, f) • • hält Euler für unmöglich 1 ), und nurempirisch fortschreitend findet er a — 1, /!=--,, y = 1 --,, 1fl = 6, s — - — | . , £ = 0 u. s. w. In der Reihe für S fallen
1 • - • ü ■ 4 • o • b
von ö an die Coefficienten der Differentialquotienten von X nach xvon grader Differentiationsordnung weg, und man erhält die frühere
zweite Formel: S — fxdx + ^ +
y 1«2
1 rf,x ._L
"T~ arwj
d s X
etc.
<IX _
12 dx 720 dx 3 1 30210 dx 6Die bei der Integration hinzuzufügende Constante muss der schonerwähnten Nothwendigkeit, dass x = 0 auch X = 0 und »9=0hervorbringe, Rechnung tragend gewählt werden. Das hat natur-gemäss Schwierigkeiten, wenn X eine solche Function von x ist,dass x im Nenner vorkommt, wie bei der harmonischen Reihe mit
X = - , ~ =
dX
dx
1 d*Xx s ’ dx 8
d*X~dx* :
1-2-3
u. s. w.
Die
Summirung gestaltet sich hier mittels pXdx — f^^- = logx zu
i + : +
+ • • • + z = C + !°g x + TZ
l
12 X 8
+
1
120x‘
s -4- • • •. Um nun C zu gewinnen, setzt Euler x = 10 undfindet näherungsweise seine Constante
C = 0,5772156649015329
auf 16 Decimalstellen, während er sie früher (S. 640) nur auf6 Decimalstellen berechnet hatte.
Andere Anwendungen der gleichen Summenformel machte Eulerin einem wenig späteren Aufsatze: Methodus imiversalis serks Sum-mandi ulterius promota 2 ).
110. Kapitel.
Reihen seit 1737.
Wir erinnern uns, dass Jacob Bernoulli (S. 901 im vollenBewusstsein des unendlichen Werthes der harmonischen Reihe gleich-wohl in unbefangendster Weise mit derselben rechnend zu gewissenSummenbildungen gelangte. Auch Goldbach iS. 620) rechnete mitunendlichen Reihen von mindestens zweifelhafter Berechtigung, undein Ergebniss theilte er Euler mit, der davon mit der Bemerkung,
*) Ipsri nutem series coefficientum a, ß, y, S ■ ■ ■ ita est comparata, ut vixcredit m pro ea terminum generalem possc exhiberi. *) Commentarii AcademiaePetropulitanue ad annum 1736. T. VIII, 147—158.