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10. Kapitel.

es rühre von Goldbach her, in der Abhandlung Vitrine obscrrationescirca series infinitas 1 ) Gebrauch machte. Sei x die Summe der un-

endlichen harmonischen Reihe oder x

1 T 2 T 3 ' 4 > 5'

Man weiss, dass — 1 — = — 4- 4- 4-, und setzt man der Reihe

’ a — 1 a ' er 1 « s 1 ’

nach a = 2, a = 3, a = 5, a = 6, so erhält man:

i = I+ I + i +.••

1 2 ' 4 ' 8 ~

1=1+A+

9 a I o I

1^

2 3 1 9 1 27

i = i + i + i + • • ■

T = i + L + Bi« +

+

36

216

Zieht man diese Reihen von x ab, so bleibt x — (^- —|— -i- -+- —f-

= 1 -I - \ + yö A" 4" ’ ' Offenbar lassen weitere Reihen für

• sich bilden, in denen lauter von einander verschiedene+ lltf ’ l?

7

1 J_ 1_

7 ’ 9 ’ 1Ö»

Glieder . —r7

mit r > 1 Vorkommen. Zieht man auch

diese Reihen wieder von x — (l + ¥ + 7 + t) ab, so erschöpfensich schliesslich alle Glieder der harmonischen Reihe mit Ausnahme der 1und man behält x — (j + \ ^ | ^ H-) = 1,

beziehungsweise

1 = V + 1 + 1 + A + A + A + A__|-

1 ~ 2 * 4 ~ 5 ~ 6 ' 9 * 10 '

Nun war

1 . l . l

* = T+¥+

+ A + A + 1 +-+

6 1 7

und zieht man die obere Reihe von der unteren ab, so bleibt Goldbach’s Reihe

1 = A + A + A + 1 + A. + A. + ...

deren Definition darin besteht, dass die Nenner der sie bildendenStammbrüche um 1 vermehrt sämmtliche Potenzzahlen liefern, diein der natürlichen Zahlenreihe Vorkommen.

Euler setzte ein ähnliches Verfahren fort, mittels dessen er dieeben gefundene Reihe von der Summe 1 in zwei andere zerspaltete,deren eine nur mit ungraden Nennern behaftete Brüche enthielt, diezweite nur Brüche graden Nenners. Er fand

‘) Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1739. T. IX, 160—188.