Reihen seit 1737.

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; + y + n + A + i+i+- = 1 <>g*-

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8 + h + 26 + i + i + ife + • • • = 1 — lo § 2 -

In einem weiteren Satze ging Euler von der Leibnizischen Reihe

1 — j + j — {-+"•=” aus, und dieses dürfte die erste Stelle

sein 1 ), an welcher Euler sich des Buchstabens zi für die Zahl3,1415926 • • • bediente. Wir wissen, dass sich William Jones1706 mit eben dieser Bezeichnung versuchte (S. 295), aber ohneNachahmung blieb. Eulers Beispiel schlug durch, und bald nahmein Schriftsteller nach dein anderen das zi an. Noch eine anderebald allgemein gewordene Bezeichnung schreibt sich von dem inRede stehenden Aufsatze her, in welchem die erste uns bekannteBenutzung des Buchstaben e für die Basis des natürlichen Logarithmen-systems sich findet 2 ).

Euler blieb bei Reihensummirungen nicht stehen, sondern be-schäftigte sich auch mit der Anwendung unendlicher Eactoreu-folgen 3 ). Sei die unendlich grosse Summe der harmonischen Reihe 4 )

wieder durch x bezeichnet. Von x = -j- + i + i + t H— zieht

Euler 2 = 7 T + j + ö‘+ 8 +- - ab und behält * = -j- -j- * -)- ~

-f- 7 -f- eine Reihe, in welcher Stammbrüche geraden Nenners

fehlen. Aus ihr folgt ~ ■ y x = i -f ^ A- -)- ■ ■ •, und zieht

man diese Reihe neuerdings ab, so erhält man ^ i l -j) x =ri x

+

In den Nennern dieser Reihe fehlen alle

= T+5 + 7+Ildurch 2 oder durch 3 theilbare Zahlen. Man sieht, dass in

12/ 12 4 l . l . l , l , .. , T

7'3' 1 1— ö) x — i' I' ö * — i + y + n + is + •" die ^ enn «-

der noch vorhandenen Stammbrüche durch 2, 3, 5 untheilbar seinwerden, und dass ein ähnliches Verfahren sich dazu eignet, auch dieBrüche aus der immer weniger Glieder enthaltenden Reihe zu ent-fernen, deren Nenner durch die folgenden Primzahlen 7, 11, 13

6 10 12

3

• , • 1 , 1 , 1 , 1 , 2 3

ziehungsweise a^y + j + y-fjH-= y

theilbar sind. Endlich erscheint • 7 • 7 • 7 • ■ • • x = 1, be-

_ 5_ _7 11 13

2 ‘ T ' 7f ' TÖ ‘ 12

wo die unendliche Factorenf'olge .aus lauter Brüchen —^ - gebildet

_ ° p — l °

l ) Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1730. T. IX, 165.T ) Ebenda T. IX, 187: posito e pro numero cujus logurithmus hyperbolieus est 1.s ) Ebenda T. IX, 172 sqq. *) estquc adeo infinitum.