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110. Kapitel.
ist und p alle auf einander folgenden Primzahlen bedeutet. Die har-monische Reihe nähert sich aber, wie Euler in der früheren Abliandlung über dieselbe (S. 040) gezeigt hatte, bei i Gliedern demWerthe log i i +1) und bei i = oo dem Werthe log oo, der, wiewohlunendlich gross, doch kleiner als jede Potenz des Unendlichgrossenist, und eben diesen Werth muss man der angegebenen Pactorenfolge•/uschreiben*).
In dem gleichen Bande der Petersburger akademischen Ver-öffentlichungen findet sich eine theoretisch nicht gar bedeutende Zu-sammenstellung verschiedener Reihen, welche zur Berechnung von3 t Anwendung gefunden haben 2 ). Euler zieht die Methode der An-näherung durch unendliche Reihen allen anderen vor, wenn die zubenutzenden Reihen zwei Eigenschaften besitzen, die erste rascherConvergenz, so dass nicht viele Glieder in Rechnung gezogen zuwerden brauchen, die zweite einfachen Baues der Glieder, so dassderen Einzelberechnung keine übermässige Mühe verursacht. Die
Leibnizische Reihe j = 1 — 1- + |- — * + • • • befriedige z. B. in
der zweiten, aber nicht in der ersten Beziehung, denn man müsse10“ Glieder in Rechnung ziehen, um jt auf 100 Decimalstellen genauzu erhalten. Unter den vortheilhafter zu gebrauchenden Reihen sindeinige, deren Herleitung auf dem Gedanken beruht, dessen Machin(S. 3f>0j sich bediente. Euler nennt aber diesen seinen Vorgänger
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nicht, wiewohl er dessen Zerlegung - = 4 arctg — arctg >)g9 aus-drücklich als eine der bequemsten anpreist. Als eine andere vortheil-hafte Zerlegung wird j == 4 arctg * — arctg - 1 - -f- arctg ^ vorge-
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schlagen. Wir erwähnen auch Euler’s Zerlegung --- = 2 arctg — -j-arctg \ , weil sie mehrfach in Lehrbücher der Analysis Eingang ge-funden hat.
Wir schliessen einige Bemerkungen über Dinge an, welche wedernach dem Orte noch nach der Zeit ihrer Entstehung hier vollberech-tigt erscheinen, welche aber bekannt zu werden verdienen, und welchewir anderwärts nicht unterzubringen wissen. Um die Mitte desXVII. Jahrhunderts bereits bildete sich in Japan eine mathematischeSchule unter dem Einflüsse i so glauben japanische Gelehrte 3 )) der