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110. Kapitel.

Eine Herleitung dieser Reihe ist vorläufig nicht mitgetheilt. Man

( S \ “ 5 1 S •

<)/ — 17 ~ — 7 i schreibt,

dann = * — * "j/l — , die Quadratwurzel nach dem

i

binomischen Lehrsätze entwickelt (l — =1 — —

*. — • • • und nach Einsetzung dieses Wertlies die ganze Gleichung

mit (I vervielfacht. Sollte Seki’s Verfahren wirklich so gewesen sein,so müsste man entweder seinen mathematischen Geist aufs höchstebewundern oder seine Unabhängigkeit anzweifeln. In der für s,

gleichviel wie gefundenen Reihe ist das Anfangsglied * s — mit

dem Namen der Urzahl, original ntauber, belegt; die nachfolgendenGlieder heissen 1*°, 2 t0 , ;i te ■ • • Differenz und werden durch Re-cursionsformeln aus einander erhalten. Nennt man die Urzahl auchnullte Differenz (was der .Japaner nicht tliut) so entsteht allgemein

die 1; -f- l t0 Differenz aus der A ten durch Multiplication mit 8 undmit einem Zahlenfactor fk+\ von der Art, dass /j = 4 , / 2 = v>

f*

} /i 1 () ? fb

_ ö

'■> 8 ’ ,4 “ 10(2t+l)(2fc + 3)

1 f _ 11 f — 13&. 1 16 j4> II

IG2A-+ 1

Allgemein ist f k +1

(2fc + 8)(2* + 4) Warum nicht /*+» = -2F+4 als Kegel ge " ebeu wird »wird nachher ersichtlich.

Wie die Gleichung s, 2 — s k d + *sd = 0 die Beziehung der

Sagitta des halben Bogens zu der des ganzen Bogens ausdrückt, so

muss, wenn s 2 , s 3 , s 4 , • • • die Sagitta des viertel, achtel, sechszehntel

• •• Bogens bezeichnen soll, eine Reihe von Gleichungen stattfinden,

deren erste heisst s. 2 — s 2 d -j- -j s^d = 0 oder s., 2 — ds 2 -f-

(— -—1_ - 8 ■ -|- JS - _(-...) = 0. Aus ihr findet sich eine Reihe

\16 ' 64 ~ 128tf ~ 10 Ud* ' /

für s a , die wieder mit einer Urzahl ~ beginnt und sich durch

Differenzen fortsetzt, welche abermals durch wiederkehrende Ver-vielfachung mit ^ und mit Zahlenfactoren entstehen, welche der Reihe

, 5 21

nach

143 17

16’ 40’ 224 ’ 24’

133

261

176’ 728’ 320

• • • heissen.

* ii • i • i i i i i it„ t.i _j_ (4(4- —1) — i) (4(fc + l) + l)

Allgemein ist jetzt der 7c -(- l te h actoi {MJ , + 1} + 2) (4lA . + ai) — '

Ganz allgemein zeigt sich, dass, wenn der ursprüngliche Bogen inn gleiche Theile getlieilt ist und die Sagitta zu einem Bogentheile