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r>49

gesucht wird, diese sich durch eine Keihe berechnet, welche mit einerUrzahl -* beginnt und durch Differenzen sich fortsetzt mittels Mul-tiplication mit ~ und mit Zahlenfactoren von der Form <jr m =

(mn — 1) (mn -f- 1)ff« n -f- 4) (»in -f- n)

2w* + Hm + 1 ?

welcher bei n = ou in

2 m s

2 m ‘ -)- 3 m -f 1

übergeht.

Zu jeder Sagitta gehört eine Sehne oder Chorda, zu s r die c r ,wobei, wie oben, AF 2 = jCDCG oder AC i = CD • CG war,

allgemein c r _p t = )/s r r/ sein muss. Sei nun der ursprüngliche Bogendie halbe Kreisperipherie, c r +i die Sehne zu dem Bogen, der 2 r +‘ malgenommen den Halbkreis liefert, so ist 2 r +'c r+1 = 2 • 2 r }/s r (l einNäherungswerth für den Halbkreis beziehungsweise 4 '2 ir s r d ein

Näherungswerth für dessen Quadrat

71 S rf S

Nun

sei

Or .

11 und für

.s',. entsteht eine mit ' als Urzahl beginnende Keihe. Diese Keihe2 r °

7i*d*

muss mit 4 ■ 2- r - <1 vervielfacht werden, um zu liefern, oder mit

7 4 7

7T‘d-

anderen Worten - ist die Summe einer Keihe, in welcher dieFactoren, welche die einzelnen Differenzen hervorbringen, wie oben•<"* . heissen, die Urzahl aber 4 ■ 2 2r ■ d ■ = 4<ls ist.

(S#i 4 8«-)- l)n’a ’ 2 ir

So entsteht:

Tt'd*

4

. , Ti I 1 2 s I 1 2 • 4 s a , 1 2 ■ 4 ■ G s 3 , 1

— 4l7s [1 + 7 • s d + 3 ' 3 ~6 cP + 4 • 3 • 5 ■ 7 - J '

Beim Halbkreise, von welchem hier ausgegangen wird, ist .<? — —,

also 4 dfi = 2cP, 4 = w und '

’ d 2

-f- j ; ■ y + ‘ ''] > beziehungsweise

7t~

¥

1 . 1 1 • 2 1 1-2-3

I'r 3 ' 3 U 3 ' T ‘ 3 • r> • 7 ‘

Diese ganze Folge von Schlüssen soll, wie gesagt, der Hauptsachenach bis auf Seki zurückführen, bis zu der Zeit, in welcher Newtonden binomischen Lehrsatz zuerst auf die Ausziehuug von Quadrat-wurzeln anwandte. Seki's Nachfolger gaben alsdann Keihen fürBruchtheile von tt selbst, die, ihrer Herleitnng nach gleichfalls geo-metrisch, wieder so aufgefasst werden, dass sie mit einer Urzahl

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 42