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110. Kapitel.

beginnen, aus welcher die Differenzen durch fortgesetzte Verviel-fachung mit einem Gesetze gehorchenden Factoren gebildet werden.

So soll z. B.

n _ ._ 1 _ 1 _

T ^ 2 ■ 3 5 ■ 8

1

10 <J • 128

eine japanische lteilie sein.

Gehen wir nach dieser Einschaltung zu Euler’s nächster Ab-handlung (’onsidrrafio progressionis nijusdani ad cirndi quadraturam■invcnimdam idoneae 1 ) über, so finden wir hier die erste Andeutungeiner später als sehr merkwürdig erkannten Reihenart, nämlich der

halbconvergenten Reihen.

arctg t, so meint Euler

man könne das Integral in eine Summe zahlreicher sehr kleiner

Glieder umwandeln, indem man dt = — und t der Reihe nach mit

7 n

n

1 . t 2 ■ t n * t

den Werthen - , "... versehen in Rechnung ziehe, ein Ge-11 7 11 7 11 . ° 1

danke, dem wir schon bei Kepler (Bd. II, S. 757) begegnet sind, der

ihn zum Nachweis der Richtigkeit der Gleichung J sin cpdcp — 1 —cosqp

o

benutzte. Euler setzt also arctg t ~ - 4- , - t.

+-1-, eine annähernde Gleichung, die um so richtiger

ist, je grösser n gewählt wird, immer aber an einem wenn auchgeringen Ueberschuss von arctg t über die Summe der rechtsstehendenReihe leidet. Die genaue Summe nennt er s und entwickelt dieeinzelnen Reihenglieder durch Division selbst wieder in unendliche

Reihen

n- it'

m ! + t

n a ' td n 7 ’ ’

Man fasse die Glieder der neuen

■n a + y f

Reihen, welche gleiche Potenzen von enthalten, zusammen, so ent-

steht s = l [1° +'2 U + 3» + • • + n°] - £ [l 2 + 2- + 3* + - + ,r|

-f- [l 3 —(— —(— B 3 —f- - - - —(— w 3 ] — .... Jede der in eckigen Klammern

stehenden w-gliedrigen Reihen hat Jacob Bernoulli (S. 332) ineine Summe vereinigen gelehrt, und wenn Euler sich auch nichtausdrücklich auf ihn beruft, so benutzt er doch Bernoulli’s Formeln,

') Cum ment urii Acudemiue Petrojmlitunae ad annum 17.'!'.). T. XI, 110—127.