Reihen seit 1737.

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über welche er in einer Beziehung hinausgeht. Während Bernoullisich an den fünf ersten Bernoulli’schen Zahlen genügen liess, benutztEuler noch sieben weitere, im Ganzen also zwölf Bernoulli’sche Zahlen.

Der Anfang der Darstellung von s heisst also jetzt: s = t>t s f « 3 . ■»* . «j . t b r « 8 . n 4 . m s n j

m 3 Ly “i - y + 6 j + m 8 Ly '2 3 30J • • • =

+ < f«J + R + hl + i — 30 J -• Eine Umordnung der

Glieder, so dass diejenigen zusammengefasst werden, welche gleich-

[ t /3

T — 3- “j-

c_c + ...]_c r# _ +,= _ fl +...] -«_ 2p+3f-

if +■ ■ 1 - v - 8 <*+ 14t ' - +-1 --?<*+

— 132—J— • •-J u. s. w. Das Gesetz, welches die in der letzten

ft

Anordnung mit vervielfachte in Klammern eingeschlossene Reihe

befolgt, wird ohne weitere Begründung angegeben. Es lässt diese Reihein der Gestalt t — 2) fi 4. i m + *> 0 W +J U '". + ») (»' + 4 ) .

erscheinen. Aber ihre für jeden positiven Werth von m unendlicheGestalt behagt Euler nicht, und er nimmt eine geradezu verblüffendeUmformung mit ihr vor.

Heisst ihre Summe v f so wird mv = mt — 1 w ^ ^ f‘ -|-

_ (1 — ty—i)

1-2-3

2/-1

m(in + 1) (m -f 2) (m + 3) ()» -f 4) r ,

1 ■ 2 ■ 3 - 4 ' "

eine Gleichung, welche unter der Voraussetzung, man dürfe die(— m )‘° Potenz ohne weiteres nach der binomischen Formel entwickeln, sich als richtig erweist.

! 1 — t _ (i 4 -1 |/YT)~"‘ _ l

2 Y— r 2 Y— i

Nun ist weiter

X

((1

_i_i_\_ fi -f tY— i) m — (l — tY— i)”'

tY- i i"‘ (i + «y=Vi) B 7unter abermaliger Anwendung

und

2 (1 -f t*) m Y— 1

des binomischen Satzes auf die

im Zähler vorkommenden Potenzgrössen entsteht mv =

X

m t m {m ■

-T 1 1-2-3

_?.) f _j_ ?»(»» —i)

(m — 4)

1 ■ 2

t r '

(i + tr

d. h. v ist

jetzt durch eine Reihe gegeben, welche von selbst abbricht, so oft meine ganze positive Zahl ist. Diese Umformung liefert als Eud-i • /, t 3 . t 8 F . \ t 3 t-

” V 3 ' f, 7 ' / 2H.(l+i*) 2-G»r(l-fF)*

F — i •> ^ ^') — Die Annahme / = l, also

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2 11

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4 - 30«Ri -f P)