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110. Kapitel.
4 n
4»?
4 >i
arctg 1 = j, liefert endlich die Formel n = 4 + „i + “ 7 j
+ .4«.11 11 .5 1 ii
-..4- . .4- -- -i - ü4--tm r tü-, welche um
' n ! + »r ~ 0 1 rij 42 2*-3»* ' (*t> 2 4 ■ 5« 10 ’
so mehr convergire, je grösser n gewählt werde 1 ).
Unmittelbar an diese Aeusserung anschliessend beginnt Eulereinen neuen Paragraphen seiner Abhandlung mit den Worten: Wennauch diese Reihe um so mehr zu convergiren scheint, je grösser nist, so convergirt sie doch stets nur bis zu einem gewissen Gliede,und nach diesem wachsen die Glieder wieder; deshalb taugt es nicht,die Reihe bis dahin anzuwenden, wo die Glieder zu divergiren be-ginnen, sondern es wird nützlich sein, das Verfahren da einzustellen,wo die grösste Convergenz beobachtet wird. Ist nämlich von (Ln
Brüchen *, ~^ derjenige, dem der Stellenzeiger v
zukommt, = X und der nächstfolgende = Y, so ist fortwährend~ und bei ins Unendliche wachsendem v wird
A 2 a--
^ • Daraus erkennt man, dass die Reihenglieder in beständig
höherem Maasse wachsen, so dass keine noch so sehr couvergirendegeometrische Progression, mit ihnen in Verbindung gebracht, sie zumConvergiren bringen kann.
Euler hat also eingesehen, dass die Bernoulli’schen Zahlenschneller als in geometrischem Verhältnisse wachsen, unddass vermöge dieser Eigenschaft die am Anfang convergenteReihe später der Divergenz verfällt. Er hilft sich dann beider Anwendung dieser Reihen, indem er die neuerdings anwachsendenGlieder durch ein Restglied ersetzt, von welchem er nicht erläutert,wie er dazu gelangt ist, wenn man auch unschwer errathen kann, dass
er sich dazu der Formel 1- 4 -}- (-T <) — ••• =
n'n* 1 \x*n'/
1 +
4a"
be-
diente, ohne die Divergenz der hier auftretenden geometrischenReihe bei 4u 2 > n l in Erwägung zu ziehen. Und doch sagtEuler nur wenige Seiten später 2 ), man könne bei Anwendung diver-genter Reihen nicht vorsichtig genug verfahren, während es ihmabermals nur eine Seite später nicht darauf ankommt, den Satz auszusprechen 3 ), dass alle geometrischen Progressionen nach vorwärtsund rückwärts ins Unendliche fortgesetzt die Summe 0 haben.
*) Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1739. T. XI, 121:quae series eo magis ennvergit qua magis wumerus pro v accipiatur. *) KbemlaT. XI, 120: Ex his satis pempicitur, quam rauh’ circa summationem serierntndivergentium rersari oportet. 3 ) Ebenda T. XI, 120—127, § 20.