Iieihen seit 1737.
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I)a niinilich , - = n-\- n 2 4- m 3 -I-und " - ■ = 1 -j- — + \ 4- >
so müsse wegen , n —I- . = 0 auch ■ • • 4- 4- — 4- 1 + n 4-
n 2 -(-••■ = 0 sein. Wir erinnern uns, dass Stirling (S. 628) die-selbe beiderseits ins Unendliche sich erstreckende Reihe mit ihrenbei n — 1 unendlich grossem Werthe ins Auge gefasst hatte. Eskann wohl sein, dass Euler dort die Anregung fand, auf das eigen-thümliche Gebilde zu achten. Jedenfalls aber wird es unseren Leserndurch die erwähnten Widersprüche deutlicher als bisher hervorge-treten sein, in welcher Unklarheit sich Euler damals über die Be-griffe von Reihenconvergenz und Divergenz befand.
Euler hatte im VII. Bande der Petersburger Commentarien dieSumme reciproker Potenzen der in der Zahlenreihe auf einanderfolgenden Zahlen untersucht und mittels der in unendlich viele Fac-toren zerlegten Sinusreihe gefunden ('S. 636—637). Er hatte imVIII. Bande derselben Sammlung seine Summenformel abgeleitet, ohnein den in ihr auftretenden Coefficienten ein Gesetz erkennen zukönnen (’S. 643). Euler hat sich niemals mit einem negativen Er-gebnisse zufrieden gegeben. Im XII. Bande kehrte er mit den Be-trachtungen über einige Reihen, De scricbus quibusdam considcrationes 1 ),zu den gleichen Fragen zurück. Ist s ein Kreisbogen und y = sin s
— s — -—4- . — •••, sind dann wieder a, b, c ■ ■ ■ die
l-2-3'l-2-3-4o ’ ’ ’
Wurzeln der aus der Sinusreihe gebildeten Gleichung 0=1 — — +
g3 g6
. ----- —-——-—-— ; - [-•••, schreibt man a für die Summe dieser
1 • 2 • 3 y 1 • 2 • 3 ■ 4 • o ij 1 ’
Wurzeln, ß, y, <5 • • ■ für die Summe ihrer Producte zu zweien,dreien, vieren setzt man dann, ungleich der früheren Bezeichnung,a + h + c + d + --- = A } a 2 + b 2 + c 2 + <P + • • • = B, « 3 + ^ +c 3 -f- d 3 -)-••• = C u. s. w., so erhält man A — a, B = ciA — 2ß,(J = oc B — ß A -f- 2 y u. s. w., Ergebnisse, welche von den früheren nurin Bezug auf die grossen Buchstaben abweichen. Nun tritt aber neuhinzu, dass eben diese grossen Buchstaben als Coefficienten einer re-
currenten Reihe erkannt werden, indem a „ " ^ 3 J A -— =
A -|- Bz -f Cs 2 -(-••• ist, wie einfache Division bestätigt. Eulergeht dann noch einen wichtigen Schritt weiter. Er setzt den Nennerdes hier benutzten Bruches 1 — az -(- ßz 2 — yz 2 -)-••• = Z, so wird
der Zähler sofort = — und demnach A 4- Bz 4- Gz' 2 -(-•••
dz iii
=- ■ Ausser durch Z lässt sich aber 1 — uz -f- ßz 2 — yz :! -)-
/j dz
*) Commentarii Aeademiae 1‘etropolitanae ad annum 1740. T. XII, 53—'JO.