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] 10. Kapitel.

auch noch durch 1 — — sin s bezeichnen, wie aus der geschilderten

Entstehung der a, ß, y ■ ■ • hervorgeht. Ist demnach Z = 1 — ~sin 2

und ii dabei constant, so wird = — — cos z und — 4 ( ?•' 7 dz y a de

Z dz

1

cos z

y

cos z

mithin gefunden A -f- Bz -|- Cz~ + • • •

1-sin z

V

1

y — sin z

cos z

Wir bemerken dabei, dass Euler statt sin z und cos z

y — sin z

die Schreibweise sin A -z und cosM-£, d. h. sinus arcus z, cosinusarcus z hat, und dass der Abkürzungsbuchstabe A, abgesehen davon,dass ihm ein Pünktchen folgt, genau so aussieht, wie der Coefficieut A,wodurch man sich beim Lesen der Abhandlung nicht irre machen

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lassen darf. Wird // = 1, also das frühere s = „• angenommen, so

COS v

entsteht A 4- Bz 4- Cz 2 + • ■ • = - .'—, und kann man

1 1 1 1 — Sill z ’

1 — sin z ’

in eine nach Potenzen von z fortschreitende Leihe entwickeln, so sinddamit die Coefficienten A, B, C • • • gegeben, denn eine zweite ReiheV + Qz + Rz 2 + • • •, welche aus demselben geschlossenen Ausdrucksich herleitete, ohne dass B = A, Q = II, B — C ■ wäre, ist un-möglich 1 !.

Beiläufig bemerkt, dürfte dieses die erste Stelle sein, an welcherder der Methode der unbestimmten Coefficienten zu Grunde liegendeGedanke deutlich ausgesprochen ist.

Jene gewünschte Reihe verschafft sich Euler so. Es ist

cos z — sin -f- z'j = 2 sin -f- 4) cos (j 4" |r)’ ferner 1 — sin z

1 + cos (f + *) = sin (f + 4) + cos (f + {) + cos (| + |)

und dieser Ausdruck muss der Reihe A Bz Cz 2 -)- • ■ • ent-sprechen, welche Euler jetzt durch s bezeichnet, wofür wir lieber aschreiben, um jede Verwechslung mit dem früheren s zu vermeiden.

Aus tang (| + -*-) = d folgt aber | +

= arctg 6, und durchda

Differentiation nach z erhält man

1 + (A + Bz + Cz- H- y = -2 (B + 2 Cz + 3 Bz- -) = 2 B

ff- 4 Cz -f- 6 Dz' 2 + • • •. Xun endlich findet Euler durch Ausführungder links vom Gleichheitszeichen geforderten Quadrirung, und durch

‘) Commentarü Academiae Petropolitanae ad annum 1740. T. Xll, 61.