lieihcn seit 1737.

liöä

Gleiehsetzung der auf beiden Seiten auftretenden z k enthaltendenGlieder unter Berücksichtigung des schon bekannten Werthes A — 1die zwischen A, 11, C ■ ■ • stattfindenden Beziehungen A = 1,

11

A'-+ 1

r

~ i °

2 AB4 ' >

1 ) =

2AC+B 1

6

u. s. w.

Wir können unmöglich über alle weitere Entwicklungen berich-ten. Wir müssen uns begnügen, aus dem Zusammenhänge heraus-gerissen, zu sagen, dass im § 16 von trigonometrischen Functionenmit imaginärem Argumente und ihnen gleichen Exponentialausdrücken

a T/ _ i 2ae u

mit reellen Exponenten die Rede ist 1 ), dass z. B. — . r — 9 -

sin (a Y — l) e — 1

erkannt ist, wenn auch die Bezeichnung weniger einfach gewählt ist.Wir erwähnen ferner, dass die Summen der reciproken Potenzen derganzen Zahlen mit graden Exponenten bis zur Summe der reciproken24 ten Potenzen ausgerechnet sind'') und zwar jeweils in der Form

75* * + + ’ • • = 1.2 2 3..-(2fc+l) Ä **> W0< abCT Eule1 ' aUCh

wieder insofern etwas anderer Bezeichnung sich bedient, als er da,wo wir durch Anwendung des Stellenzeigers k verallgemeinerten, diebesonderen Zahlenwerthe anschreibt, auch wo es um die Aj* sich

handelt. Statt A.,, A it A 6 , A B ■ ■ ■ findet man also bei Euler i, J ,* , Di e allgemeine Summenformel endlich erhält durch An-

wendung dieser Zahlen eine etwas andere Gestalt 3 ): S= | Xilx

X Aj_ dX _ _At dXX A 0 d 5 X

” 1_ 2 i - 2 ■ 3 dx 1 ■ 2 • • • 5 dx 3 ' 1 • 2 • • ■ 7 dx 3 '

Die Zeitfolge führt uns zu einem ganz hervorragenden umfang-reichen Werke, welches 1742 in Edinburgh die Presse verliess, zudem Treatise of fluxions von Maclaurin. Wir werden im 112. undim 118. Kapitel über dasselbe zu berichten haben, zunächst besprechenwir nur die Stellen, welche für die Reihenlehre von Wichtigkeit sind.Dazu gehört mittelbar der Satz 4 ), dass die auf ein rechtwinkliges

Coordinatensystem bezogene Curve y —

Ax m + Bx m ~ l + ■ax n + bx n ~ 1 -

unter der

Voraussetzung n > m die Abscissenaxe zur Asymptote habe, dassaber der Flächeninhalt zwischen einer Anfangsordinate, der Curveund der Abscissenaxe nur dann ein endlicher sei, wenn «> m -)- 1,dagegen ein unendlich grosser, wenn n < m -)- 1. Auf ihn beruftsich nämlich Maclaurin 5 ), wo er die Summirung einer Reihe zur Aus-

l ) Commentarii Academiae Petropolitanae ad anmim 1740. T. XII, 60 — 66 .

*) Ebenda T. XII, 73—74. *) Ebenda T. XII, 74—75. 4 ) Maclaurin,

Treatise of fluxions pag. 272—273, § 327. 6 ) Ebenda pag. 289—304, § 350—362.