110 Kapitel.

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messung eines Fliiclienraums von der genannten Gestalt in Beziehungsetzt. Seien (Fig. 107) die Absisseustiicke AB — BC = C'11= HI= • • • = 1 und die Ordinaten AF, BE, CK, HL • ■ • die einzelnen

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Fig. 107.

Reihenglieder, so ist die Reihensumme gleich der Snmme der Recht-ecke AQ -f- BS - (- CT -f- HZ -(-■••. Diese Rechtecke sind aberzusammen grösser, als die von der Curve FEHL ■ ■ ■ mit AF undAB gebildete Fläche, welche selbst wieder, wie man durch ge-dachte Verlängerung der SE, TK, ZL ■ ■ ■ nach links sich leichtüberzeugt, grösser ist als BS + CT -f HZ -f • • •. Je nachdem manalso die Curvenfläche endlich oder unendlich findet, wird das Gleichefür die Reihensumme gelten müssen. Wird ferner in Erwäomn" <re-zogen, dass die gradlinigen Dreiecke FQE, ESK, KTL, LZM ■ ■ ■den Haupttheil des Ueberschusses der Rechteckssumme A Q -)- BS-f- CT -f- HZ über die Curvenfläche ausmachen und zusammen

der Hälfte des Rechtecks AQ gleichkommen, so wird jene Rechtecks-summe, d. h. die vorgelegte Reihe, annähernd eben so gross sein, wiedie um das halbe erste Reihenglied vermehrte Curvenfläche. Es sinddas die gleichen Gedanken, welche zum Theil Newton (S. 193),welche genauer Euler 1730 ausgesprochen hatte ('S. 640—641). Alsdem Zwecke der Reihensummirung noch näher kommend wird dann eineUmformung vorgeschlagen 1 ), welche zur Reihensummirung unter Aus-rechnung von verhältnissmässig nur wenigen Gliedern führt, undwelche mit der Euler’schen Summenformel ('S. 635) übereinstimmt,Eine Herleitung verspart sich Maclaurin auf den zweiten Band.

Maclaurin macht dann darauf aufmerksam, dass, wenn A,B,C,D ■■■die Glieder einer Reihe sind, und wenn man deren Differenzen bildet,eben diese Differenzen A — B, B — C, C — D ■ • • eine neue Reihe

*) Maclaurin, Treatise of fluxions pag. ‘20-2—293, § 352—353.