Reihen seit 1737.

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(larstellen, deren Summe der Unterschied zwischen dem ersten unddem letzten Gliede der ursprünglichen Reihe ist. Nehmen die Gliederder ursprünglichen Reihe unter jeden angebbaren Werth ab 1 ), sobleibt ihr erstes Glied allein als Summe der Differenzenreihe, z. B.

1= ( 1 — I) + (? ~ s) + (i ~ l) + ’' ‘ = Hä + 2 : 3 + 8^4 + "'i

1*2 = (1*2 — 2*3) + (2U» — 3^) + (3*4 — Uö ) H- - iTa • 3

+

3 4

+ 3, • 4 • +

Dieses Verfahren sei im Wesentlichen

schon von Jacob Bernoulli (S. 88 flgg.t benutzt worden und habeauch in den Händen von Taylor, von Nicole, von Stirling Diensteerwiesen. Maclaurin selbst bedient sich desselben noch bei zahl-reichen verwickelteren Betrachtungen.

Die Verwandlung eines Ausdruckes in eine Reihe, mithin die derReihensummirung als Umkehrung gegenüberstehende Aufgabe, kommtbei Integrationen in Betracht 2 ). Kann das Integral nicht genau alsalgebraischer Ausdruck angegeben werden, so muss man es durcheine convergirende Reihe ausdriicken 3 ). Wie das zu geschehen hat,ist verschieden. In sehr vielen Fällen genügt ein Divisionsverfahren,

• (l X X*

wie z. B. bei-= 1 + —I- 4-, wo unter der Voraussetzung

eines gegen a sehr kleinen x wenige Anfangsglieder der Reihe ihremGesammtwerthe nahezu gleich sind 4 ). Differentiation führt gleichfallsnicht selten zur Reihenentwicklung, und als Beispiel dient für Maclaurinder binomische Lehrsatz Newton’s 5 ). Ist n ganz beliebig, sowird gleichwohl für (1 -f- x) n eine nach Potenzen von x fortschrei-tende Reihe vorausgesetzt werden dürfen, deren von x freies Anfangs-glied 1 heisst. Man wird annehmen dürfen (1 -(- x)’ 1 = 1 -j- A x

+ lixr -f- Cx 3 -|- l)x 3 -)-•■•. Differentiation nach x liefert nach

einander

Mil + *)— 1 = A + 2Bx + 8 Cx 2 + 4/U; :i + - - •

n (u — 1) (1 + *)—* = 2 B + 2 • 3 Cx + 3 • 4 J)x 2 + • • •

h(h— 1 )(n — 2)(1 + xY ~ 3 =2-36’+ 2-3-4 Dx-\ -

Setzt man überall x = 0, so rechtfertigt sich einestheils der An

*) Maclaurin, Treatise of fluxions pag. 293, § 354: If the terms of thefirst series deereaze in such a manner that by continuing the progression they maghccome less than any quantity how small soever that ean bc assigned. 8 ) Ebendapag. (304—607, § 745—747. 3 ) When a fluent cannot be represented accurately

in algebraic terms, it is then to be expressed by a converging series. 4 ) In thatcase a feie terms at the beginning of the series will be nearly equal to the valueof the ichole. 6 ) Ebenda pag. 607—608, § 748.