110. Kapitel.

fif)K

fang der für (1 -j- x) n angenommenen Reihe mit 1 und ergiebt sichanderntheils n = A, n(n — 1) = 2 li, n( n — 1) (n — 2) = (>C u. s. w.,

d. h. A = „, li = n( -]~ y, C = w(w ~ • • - Aehnlich wird

unmittelbar darauf der polynomische Lehrsatz 1 ) hergeleitet, fürdessen Erfindung auf De Moivre verwiesen ist (S. 83).

Die obige Herleitung des Binomialsatzes hat allerdings nebenanderen Erfordernissen, deren Erkennung erst späteren Zeiten ange-hört, unter allen Umstäuden zur Voraussetzung, dass die Auffindungdes Differentialquotienten von (1 -j- x) n nach x als n(l -f- x) n ~ 1 nichtselbst mittels des Binomialsatzes stattgefunden habe, und diese Vor-sicht hat Maclaurin geübt. Seine Herleitung jenes Differentialquo-

E n — F n

tienten 2 ) geht aus von der Ungleichung nE“~ l > y_ y > nF“—',sofern E > / '> 0 und n ganzzahlig positiv. Aus ihr folgt ^

> und

A n — (.4 — re)”A — (A — a)

< nA “~ 1 oder {A -f- a) n — A n > naA H ~

> d" — (A — d) n . Mit anderen Worten: die n ton Potenzen positiverZahlen wachsen in der Weise, dass ihre Differenzen fortwährend zu-nehmen. Ist nun a die Fluxion von A, so muss naA n ~ 1 die Fluxionvon A n sein, weil die Annahme einer Fluxion naA n ~ 1 -|- r ebensowie die Annahme einer Fluxion naA n ~ 1 — r zu Widersprüchen

führt. Sei nämlich y A n ~ 1 -f ~ — A = o, so folgt -(- r

= na\A -j- o) n ~ x , d. h. der Quotient der Fluxionen von A” und vonA ist n(A o) n ~ l . Denkt man sich ein «<o als Fluxion von A,so muss demgemäss die entsprechende Fluxion von A n sich alsnu{A-\- o) n ~ 1 erweisen. Nach dem Vorausgeschickten ist nu (H-J-o )" -1

> nu {A -}- m )” -1 > (M + u) n — a n , und doch kann die Fluxion vonA n als Grenze von (714- «)" — A n nicht grösser als diese Differenzselbst sein, welche bewiesenermaassen zugleich mit u zunimmt, derangekündigte Widerspruch ist mithin aufgedeckt. Aehnlich ist derBeweis, dass auch naA n ~ 1 — r nicht die Fluxion von A n sein kann,und demnach ist in der That naA n ~ 1 die genannte Fluxion, wenn

nur n eine ganze positive Zahl ist. Ist dagegen ^ der Exponent

m

von A und A n = K, A" 1 = K n , und ist « die Fluxion von A, Je die

m A m ~ 1

von K, so ist maA' H ~ l = nJcK’ 1 — 1 , sowie 1c = — a ,’ ’ n K n ~ l

*) Maclaurin, Trcatise of fluxions pag. 608, § 749.pag. 583—586, § 710—714.

*) Ebenda