Reihen seit 1737.

nÄ’“~ l :A '* = — aA n . Ist dann weiter A~ r = K oder

ni

m -

n

n

A r -K=\, so folgt durcli Fluxionsbildung rnA r ~ l K -)- JcA r = 0JC

nebst k = — ra — — raA~ r ~ 1 . Auf den Fall eines irrationalenA

Exponenten wird nicht Rücksicht genommen.

Wir unterbrechen hier einen Augenblick unseren Bericht überMaclaurin’s Werk, um einem am 6. Mai 1742 der Royal Society vorgelegten Aufsätze 1 ) eine Erwähnung zu gönnen. Johann De Castillonhat damals den binomischen Lehrsatz mit einem Beweise versehen.Bei der Entwicklung von {p q)”‘ müssen, sagt er, unter Annahmeeines positiven ganzzahligen »t die Glieder p m } p m — 1 7 , p"‘~ 2 q 2 ,■ ■ ■ q"‘, im Ganzen m -j- 1 Glieder Vorkommen. Vervielfacht man( p L + f h) ilh + <]-i) ■ ■ ■ (p m + fjm), so entstehen 2 m Glieder und2"‘ > m -f- 1. Daraus folgt, dass beim Uebergange des Productes ineine Potenz, d. h. wenn alle p unter sich und alle q unter sichgleich werden, gewisse Glieder identisch werden müssen. Das Gliedp' q‘ ( wo s -f- t = m) wird so oft Vorkommen, als s Elemente p und t

( s ~b Q ( s ~k t —!) —ü)~ ■ • 1

s (s — 1) • ■ • 1 ■ t (t — 1) • ■ ■ 1

Elemente q permutirt werden können, d. h.

mal. Man kann auch von einer Potenzentwicklung auf die nächst-höhere schliessen mittels (p -(- q)"‘ = (P + q) ip -f- q) m ~ 1 und sounter Voraussetzung von (p -)- qf = p 2 -f- 2pq -)- q 2 zu dem gleichen

r

r

r

Ergebnisse gelangen 2 ). Wird m = * und (pq) n = Ap n -|- Bp n 'q

-\- Cp n (f -f- • • •, ein versuchsweiser Ansatz, dessen Berechtigung

r

-1

keinerlei Begründung erhält, so folgt (p -{- q) r = (.4 p n -)- Bp

-f- Cp n q 1 -f- ■ ■ •) oder p r -(- rp r ~ l q -f-

+ nA n - 1 Bp'- i q + uA n ~ 1 Cp'— 2 q 2 -j -b A"- 2 B 2 p r - 2 q 2

und durch Gleichsetzung der in Bezug auf p und q identischenGlieder zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens erhält man A — 1,

n (n — 1)

r (r - 1)

r (r — «)

r und B

und C

u. s. w. Wird der Exponent negativ, so begnügt sich

1 ■ 2

De Castillon mit Andeutung der in der Potenzirung alsdann mitenthaltenen Division, welche wiederum zu den durch den binomi-schen Lehrsatz geforderten Coefficienten führe. Der Vergleich von

■) I\ T. XLI1, 91—08. *) Ebenda XLII, 94.