(i()0 110. Kapitol.

De Castillon’s Schlüssen mit denen Maelaurin’s fällt sehr zu Ungunstendes ersteren aus.

Noch drei Jahre später begnügte sich Kästner in einem Pro-gramme über den Binomialsatz (Leipzig 1745) nun gar mit dem Be-weise des einfachsten Falles bei ganzzahlig positivem Exponenten.Er nahm die Entwicklung von [a -\- b) m als gegeben an, vervielfachtemit a b , ähnlich wie es De Castillon beiläufig getlian hatte, undzeigte die Uebereinstimmung des Productes (a -f- b) (a -j- b) m mit derEntwicklung von (a -f- b) m + l . Aber (a -f- b) 2 = a 2 -f- 2 ab -|- b 2 stehtin vollem Einklänge mit dem Binomialsatze, also gehorchen auch diefolgenden Potenzen dem gleichen Gesetze. Als Erfinder der hier be-nutzten Schlussweise der vollständigen Induction nannte Kästner beidieser Gelegenheit Jacob Bernoulli . Das Erstlingsrecht Pascal’swar ihm augenscheinlich unbekannt.

Hatte sich Maclaurin bei seinem Beweise für den binomischenLehrsatz des Hilfsmittels bedient, eine Reihenentwicklung für (1 + x) nvorläufig anzusetzen und durch wiederholte Differentiation nebst Ein-setzung von x — 0 die Reihencoefficienten zu bestimmen, so führteihn genau der gleiche Weg zu derjenigen Entwicklung, welche denNamen der Maclau rin'sehen Reihe 1 ) erhalten hat, und von welcherMaclaurin selbst erklärt, sie finde sich bereits in Taylor’s Mcthodusincrementorum, womit er eigentlich ein wenig zu weit geht i S. 367—368).Bei unserem Berichte ersetzen wir die Fluxionspünktchen und dieBuchstaben E, E, E, E ■ ■ •, welche die Werthe bezeichnen, die y(eine an sich beliebige Funktion von z) und dessen Ableitungen unterder Voraussetzung z = 0 annehmen, durch die heute gebräuchlicheSchreibweise bestrichelter Functionalzeichen. Wir setzen also inMaclaurin’s Geiste, aber abweichend von seiner Bezeichnung, y = f(z)

= A -f- Bz -j- Cz 2 -f- l)z z -|- und die Ableitungen f' (z) — 11

+ 2Cz + ZDz 2 + • • -, f"(z) = 2C + 2 ■ 3J)* + . . ., f"0)= 2 • 3 D Die Substitution z = 0 bringt f(0) = A, f’ (0) = 11,

/'"(()) = 2C, /'"'(0) = 2-3 1), ••• beziehungsweise A = /'(0),

Ii — /''(0), C == y“, I) = ’ • hervor, und so ist gefunden

f( z ) = /'(°) + f'(S» z + \ + {—2^ 2 ' 3 -• Von eiuem Rest '

gliede der Reihe ist, wie man sieht, ebensowenig die Rede, als vonder Möglichkeit, dass die entstehende unendliche Reihe nicht brauch-bar sein könne, und unbesorgt leitet Maclaurin einige allerdings schonbekannte Entwicklungen als Beispiele für die Anwendung seinerReihe ab.

') Maclaurin, Treatise uf fluxions pag. (110—611, § 751.