Reihen seit 1737.

fifil

Noch ein letztes Mal kommt Maclaurin unter Benutzung desTavlor’schen Satzes auf Reihen zurück 1 ). Es sei uns abermals ge-stattet, seinen Gedankengang in die unseren Lesern jedenfalls geläutigere Bezeichnung zu kleiden. Nach dem Taylor’schen Satze ist

f{x + i) = fix) + f’ ix)e + *»•••. Wird mit dz

vervielfacht und von 0 bis 1 integrirt, so erhält man

1. ff(x + z) dz = f(x) + + r y^- 4 + • •

0

Ersetzt man die Function f(x), beziehungsweise f{x-\-z) durchderen Ableitungen, so entstehen neue Gleichungen in beliebiger Anzahl:

fr (.* + *) <!* = f (*) + r " x ( f + + • ■ ■

. I r (* + *) dz = r (*) + + rV^+r.C?4 + ---

. / r (* + = r (*) + ^ 4 + • • •

Vervielfacht man die Gleichungen des Systems 2., wie sie untereinander stehen, mit u, ß, y • • • und addirt sie dann silmmtlich zu 1.,so entsteht:

iii i

:i. jf(x + zydz+ uff' (x -f z).dz + ßjf" (x+,z),dz -f yjf'" (a?+. z) dz + ■ • ■

0 ü ü o

= f ( X ) + f'(x) ( 4 2 + «) + f" (x) (—; 2 -_- 3 - + “ 7 , + ß)

+ r(*) ir^ 3-4 + i. -2 . ;i + + r) H—•

Die an sich beliebigen, also zur Erfüllung irgend eines Wunschessich eignenden Zahlen er, ß , y • ■ • bestimmt man so, dass in il. alleGlieder rechts vom Gleichheitszeichen mit Ausnahme von f(x) in Weg-fall kommen, d. h. mittels des Systems

Lä + “ = °

lTä:» ■ 4 + 1 • 2)3 + Ibä + z = <>

*) Maclaurin, Treatise of fluxions pag. 67!—675, § 828—831,