110. Kapitel.

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wodurch « = — * , ß = ^, 7 = 0, ö = — 7 -JÖ’ £ = 0 > 5 =

30-240

sich berechnet und 3. übergeht in

i i i

r>. f(x) =J‘f(x + z) dz — ~ff' (x + z) dz -f ^ ff"(x + z) dz

0 0 o

1 1

- 7 (lZ + 3024 öß Y1 & + *) (h + • • ••

0 ü

Die in 5. geforderten Integrationen lassen sich, so oft Differen-

i

tialquotienten unter dem Integralzeichen stehen, also von j f (xz) dz

o

— f( x +1) — t\ x ) an beginnend, leicht vollziehen, und man erhältdemnach

i

/(*) =J‘fi x + z) dz — 7 (f !x + l )~f ( x d + jr> tf" {x + 1}

0

+ 720 (r (* + l > - r (*» + 302 4ü (r (*+u - r <*»-■■■•

Man kann ein ganzes System ähnlicher Gleichungen aufstellen,indem man x durch x -(- 1, durch x -f- 2 • • • ersetzt. Innerhalb derKlammern erscheint dann in jeder folgenden Gleichung als Subtrahendder Minuend der vorhergehenden Substitution, und bei Addition desGleichungssystems, so dass man links f(x) + f( x + 1) + f(x + 2)-f- • • • -|- fix -j- n) zu stehen bekommt, bleibt rechts in der erstenKlammer f(x-\-n-\- 1 ) — f(x) und Aehnliches in den folgenden

Klammern. Die den Klammergrössen vorausgehenden bestimmten In

i

tegrale vereinigen sich aber auch, denn es ist J f{x-\- 1 z) dz

u

2 1 1

=j'f(x -\- z) dz u. s. w., also j f(x + z) dz -\-J f ( x + 1 + z) dz -f-

1 0 01 1 2 n-M

+ Jf( x + n + ~) dz=Jf(x + z) dz + Jf{x-\-z)dz -|-1 -j f(x -f z)dz

0 0 1 n

=//■( x + *) dz =J f (z)dz. Man erhält also endlich

0 X

x + n+l

fi x ) + f( x + 1 ) + -+/■ (X + ») = / m dz-±(f(x + n + 1 )-f(x))

X

+ i (/■' (* + » +!)-/■' (*)) - riö { f" {X + H {X))

+ 30240 l/ V {X + W + 11 “ rtö) -»

und das ist, nur deutlicher geschrieben, die Eulers’che Summen-