Reihen bis' , 1737.
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und anderen vervollkommnet, er nehme für sich nichts in Anspruchals das Recht, den Gegenstand in ein helles und den Leser befrie-digendes Licht zu setzen.
Auf das europäische Festland zurückkehrend dürfen wir in allerKürze auf einen Brief Daniel Bernoulli’s an Euler aufmerksammachen, welcher muthmasslich 1741 geschrieben ist, und in welchemwohl erstmals von einem anderen Mathematiker als Euler der Buch-stabe e in der Bedeutung der Grundzahl des natürlichen Logarithmen-systems benutzt ist 1 ).
Euler war seit 1741 in Berlin . Beiträge aus seiner Feder zudem 1746 gedruckten VII. Bande der Miseellanea Berolincnsia, wiedamals die akademischen Veröffentlichungen dort hiessen, müssen er-wähnt werden. Da ist in einem Aufsatze über bestimmte Integrale 2 )
die Summe sin s sin (s -(- «■) -j- sin (s -f- ~u) -)-(- sin (s -f- (p - 1 )u )
gefunden 3 ) und nicht minder die Snmme cos s -f- cos (s -)- ?t)-f- cos (s -f- iu) -(- • • • -f- cos (s -f- (p — 1)m), welche letztere in dop-j)elter Weise hergeleitet ist 4 ), einmal unabhängig von der Formel fürdie Summe der Sinusse der in arithmetischer Progression wachsendenBögen, einmal mittels Differentiation dieser ersteren Formel.
Da ist in einer Abhandlung Euler’s: De summis serierum reci-procarum ex potestatilms numcrorum nahmtlium ortiman 6 ), über dieSummen der reciproken Potenzen der Zahlen der natürlichen Zahlen-reihe, die frühere Herleitung der gleichen Summe mittels der alsGleichung unendlich hohen Grades betrachteten Sinusreihe (S. 060)bemängelt. Man wisse freilich, dass die Factoren der damals gebildeten Factorenfolge den reellen Wurzeln jener Gleichung entstammen,aber mau wisse nicht, ob eben jene Gleichung nicht auch imaginäreWurzeln besitze, und sei dieses der Fall, so seien alle früheren Fol-gerungen fälsch. In einem Versuche, an die Stelle der als mangel-haft erkannten Gedankenreihe eine einwandfreie zu setzen, ist mit
dürren Worten ausgesprochen 6 ), dasse : = ^1 -f- , und dass sin«
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— —- -p -.—:—-Schon 1730 oder 1731 hatte Euler erkannt
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(S. (533), dass — -- log z, und von da an war der Ueber-
gang zur Auffassung der Exponentialgrösse als Grenzwerth angebahnt.Auch der Zusammenhang zwischen trigonometrischen Ausdrücken undExponentialgrössen mit imaginären Exponenten war Euler nachweis-
‘) Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1741—1743. T. XIII, 4.*) MisceUanea Berolitiensia VII, 129—171. ®) Kbenda VII, 133. 4 ) Ebeuda
VII, 142—143. 5 ) Ebenda VII, 172 — 192. Ebenda VII. 177.
Caxtor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 43