110. Kapitel.

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lieh schon früher nicht entgangen. Er hat 1740 von FormelnGebrauch gemacht, welche dieses beweisen (S. 055), er hat einJahr später, am 9. December 1741, an Goldbach geschrieben 1 ): Ichhabe letztens auch ein merkwürdiges Paradoxon gefunden, nehmlich,

+ *“

dass der Werth von dieser Expression

quam proxime

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gleich sei * , und dieser Bruch dilferirt nur in partibus millionesimis

von der Wahrheit. Der wahre Werth aber dieser Expression istder Cosinus dieses arcus 0,0931471805599, oder des arcus von39° 42' 51" 52'" 9 IV in einem Circul, dessen Radius = 1. BeideThatsachen verhindern aber nicht, den Aufsatz von 1743 als erstenicht misszuverstehende deutliche Verkündigung der beiden merk-würdigen Wahrheiten in der Oeffentlichkeit erscheinen zu lassen.

Ehen dort findet sich 2 ) die Formel coss =

,WT7

+ «

• V-i

während

r*V—i — cos s -f- Y — 1 sins, eine so naturgemässe Folgerung aus denV r erthen von sin s und von cos s, dass sie einem Euler nicht entgangen sein kann, nicht vorkommt.

Den Jahren 1742 und 1743 gehört ein Briefwechsel an, welcherfür die Geschichte der Reihenlehre von Bedeutung ist, der Brief-wechsel zwischen Niclaus 1 Bernoulli und Euler, oder rich-tiger o-esagt, indem wir uns auf das noch Vorhandene beschränken,vier Briefe des Ersteren an den Letzteren 3 ). Euler hat die Briefebeantwortet, Bernoulli nimmt auf die Antworten Bezug, aber siescheinen sich leider nicht erhalten zu haben, sind jedenfalls nicht ver-öffentlicht. Niclaus I Bernoulli, aus dessen Briefen an Leibniz aus den Jahren 1712 und 1713 wir (S. 355—350) merkwürdig klareAnschauungen über Convergenz und Divergenz von Reihen mitzutheilenhatten, ist in diesen seinen Ansichten in den inzwischen verstrichenen30 Jahren nur noch mehr befestigt. Er zeigt sich überhaupt inseinen Briefen als einen ungemein ideenreichen Kopf. Schreibt erdoch unter dem 13. Juli 1742 in dem ersten der gedruckten Briefean Euler 1 ), er habe 1728 seinem Onkel, das ist also Johann Ber-noulli , mitgeteilt, er sei bei Untersuchungen über recurrente Reihen

7,n der Formel sin s = " ' („=*> g eian S> t i

und vielleicht bot diese Aeusserung für Euler den Anlass, dass erdeutlicher als seither in dem oben erwähnten Aufsatze von 1743 die

') <’orresp. muth. (Fass) I, 111.®) Corres}), mnth. (Fass) II, 081—713.

-) Mixeelhtnea Herolinenaia VII, 170.A ) Ebenda II, 083.