Reihen seit 1737.

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Sätze aussprach, zu welchen er, der 172# erst 21 Jahre alt war, ver-muthlich ziemlich viel später als Nielaus I Bernoulli, aber doch auchselbständig gekommen war.

Im zweiten Briefe vom 24. October 1742 giebt Bernoulli zwar

zu 1 ), man könne aus sin s = s

+

1 ■ 2 ■ 3 1 1 • 2 ■ 3 ■ 4 ■ 5

Folgerung -- = 1

(> :D('

i

4 7t -

1

+ y s + • • • ziehen, aber die erstere Gleichung erfordre zunächst den

Beweis der Convergenz der Reihe s — ‘ -f- 10 — —

Im dritten Briefe vom G. April 1743 schreibt Bernoulli 2 ): Ich

wundre mich, dass Sie mich in einer leichten, Ihnen nicht unbekanntenFrage nicht verstehen sollten. Ich kann mir nicht vorstellen, dassSie annehmen, eine divergente Reihe, welcher, auch wenn sie in’sUnendliche fortgesetzt wird, immer Etwas fehlt, gebe den genauenWerth des entwickelten Ausdruckes. Als Beispiel wird angeführt,

es sei nicht etwa - • =1 4- x 4 - a'~ 4 - • • • 4- sondern 1

X - v 1 1 1 1 ? 1 _ »■

1 + * + .r* +

+ *“ +

Auch im vierten Briefe vom 29. November 1743 kehrt dergleiche Gegenstand wieder 3 ). Es heisst dort: Ich halte den Begriffeiner Summe oder der Vereinigung vieler Glieder für nicht verein-barlich mit dem Begriffe endlos weiter gehender Glieder und sehe

diese beiden Begriffe als einander widersprechend an. Jener schliesst

das Denken sämmtlicher Glieder, des ersten, des letzten, der mittlerenein, in diesem ist das Denken eines letzten Gliedes nicht eingeschlossen;der Geist wird vielmehr von dem Denken eines letzten Gliedes ab-gezogen und folglich auch von der Zusammenfassung eines Ersten,Mittleren und eines Letzten. Die Unterscheidung zwischen einem absoluten Unendlichen und einem bestimmten Unendlichen gebe ichnicht zu. Ich behaupte, jedes Unendliche, welches in Rechnung tritt,muss als ein Bestimmtes aufgefasst werden, und deshalb meine ich,dass die Eigenschaften abgeschlossener algebraischer Gleichungen, bei-spielsweise die Gleichheit des negativ genommenen Coefficienten deszweithöchsten Gliedes mit der Summe aller Wurzeln, keine richtigeAnwendung auf Gleichungen mit endlos fortschreitenden Gliedern finde,deren keines als das Letzte betrachtet wird, Gleichungen also, beiwelchen der Begriff der Anzahl der Wurzeln wie der ihrer Summe

’) Cnrreap. math. (Fuss) II, Cill. ! ) Ebenda TI, 701—702. *) Ebenda

II, 708—710.