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110. Kapitel.

fehlt. Bernoulli giebt nun Beispiele divergenter Reihen. Er bedientsich dabei einer Kürze der Ausdrucksweise, welche einem Eulergegenüber gerechtfertigt war, welche aber anderen Lesern im erstenAugenblick Schwierigkeiten bereiten könnte. Wir wollen deshalbnicht einfach übersetzen, sondern den Sinn der Beispiele erläutern.Nimmt man von der Reihe 1 — 3 + 5 — 7 + • • • erst 1 Glied, dannderen 2, 3, 4 u. s. w., so zeigen sich die Summen 1, —2, 3, —4 ■ •Die Summe der unendlichen Reihe 1 — 3 + 5 — 7 + • • • muss alsodas unendlich ferne Glied der Leihe 1 — 2 -)- 3 — 4 + • • • oder

J _ /£

— oo (— l) x sein. Andererseits ist durch Division t _j_ ‘Lr -f- +

= 1 — ?>x + hx 2 — 7 x 3 + • • • und mittels x = 1 entsteht ^ 2 £

= 0=1- — 3 + 5 — 7 -f- • • • als unlösbarer Widerspruch. Ein ähn-licher Widerspruch ist folgender: Durch Division ist 1 _ x = 1 + x+ x s -f -T 3 -f • und x _- x t = 1 + x + 2a: 2 + 3x 3 + • • ■. Setzt

man in die erste Entwicklung x — 2, in die zweite x= 1, so er-hält man

- 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ■ • •

und

- l = l + l+2 + 3+---.

Beide unendliche Reihen müssten also einander gleich sein, während,abgesehen vom Anfangsgliede 1, jedes Glied der ersten Reihe grösserals das ihm entsprechende Glied der zweiten Reihe ist. Ein letztes

Beispiel bildet 1 _ ax + xt+ -t x i = 1 + 3* + Sr* + 19a: 3 + 43** + -.

Setzt man x — 1, so entsteht 1 = 1 -(- 3 -f- 8 -(- 19 -)- 43 -f- • • -d. h. die ganze Reihe ist gleich ihrem ersten Gliede, das Ganzegleich einem winzig kleinen Theile desselben.

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Wir haben schon gesagt, dass Eulers Antworten keine Ver-öffentliehung gefunden haben, und ebensowenig Bernoulli’s weitereBriefe über den Gegenstand, der noch lange nicht abgethan war.Wir müssen uns statt ihrer mit einem Briefe Euler’s an Gold-bach begnügen, der die noch etwa anderthalbjährige Fortdauer jenesBriefwechsels mit Niclaus I Bernoulli bezeugt. Euler also berichtetan Goldbach 1 ) aus Berlin unter dem 7. August 1745:

Ich habe seit einiger Zeit mit dem Herrn Prof. Nicolao Bernoullizu Basel eine kleine Dispute über die series divergentes, dergleichendiese ist 1 — 1 + 2 — (3 + 24 — 120 + 720 — etc. gehabt, indemderselbe geliiugnet, dass alle dergleichen series eine determinirte Summ

') (’nrresp. miith. (Fürs) I, 323 flgg.