Reihen seit 1737.

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haben, ich aber das Gegentheil behauptet, weilen ich glaube, dasseine jegliche series einen bestimmten Werth haben müsse. Um aberallen Schwierigkeiten, welche dagegen gemacht werden, zu begegnen,so sollte dieser Werth nicht mit dem Namen der Summ belegetwerden, weil man mit diesem Wort gemeiniglich einen solchen Be-griff zu verknüpfen pflegt, als wenn die Summ durch eine würklicheSummirung herausgebracht würde: welche Idee bei den seriebusdivergentibus nicht Statt findet. Da nun eine jegliche series aus derEvolution einer expressionis finitae entsteht, so habe ich diese neueDefinition von der Summ einer jeglichen seriei gegeben: Summacujusque seriei est valor expressionis illius finitae, ex cujusevolutione i 11a series oritur. Der Herr Bernoulli hat diese De-finition vollkommen approbirt, zweifelt aber noch, ob nicht öfterseben dieselbe series divergens aus verschiedener expressionum fini-tarum evolutione entstehen könne, also dass man nach dieser Definitionverschiedene Werthe zugeben müsste. Darüber hat er zwar keinExempel gegeben, ich glaube aber gewiss zu seyn, dass nimmer ebendieselbe series aus der Evolution zweyer wirklich verschiedener ex-pressionum linitarum entstehen könne. Und hieraus folgt dann un-streitig, dass eine jegliche series, sowohl divergens als convergenseinen determinirten Werth oder summam haben muss.

Für die am Anfänge des Briefes angeführte Reihe 1-1 -f- 2— 0 24 — 120 -f- 720 - • • • giebt Euler als Summe den Werth

0,5963475922, welchen er mittels Verwandlung in einen Kettenbruchsich verschafft. Goldbach’s Antwort 1 ) (vermuthlich vom 25. Sep-tember 1745) pflichtet Euler in allen Dingen bei und macht dabeieinen Vorschlag, wie man eine divergente Reihe in eine convergenteverwandeln könne. Wir werden im 112. Kapitel sehen, wie Eulerauf Goldbach’s Gedanken einging.

Aus einem anderen Briefwechsel Euler’s bemerken wir hier, dassDaniel Bernoulli ihm unter dem 20. September 1741 schrieb 2 ):Ich habe Ew. meditata über die series gelesen; selbige sind freilichingeniös und profund, aber ich formire mir eine ganz andere Ideevon den seriebus. Ich glaube nicht dass man allhier den calculumdifferentialem und integralem ohne Limitation gebrauchen dürfe, weiles nicht erlaubt ist, eine seriem als quantitates continuas aut fluenteszu betrachten, indem es lauter quantitates discretae sind. Was Siealso de interpolatione terminorum sagen, ist, meiner Meinung nach,nicht proprie und stricte zu verstehen.

Wenn Daniel Bernoulli dann am 7. März 1742 sagte 3 ): Die

') Corres])- math. (Fuss) I, 330—331. *) Ebenda II, 170. 3 ; Ebenda

II, 487—488.