110. Kapitel.

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methodum series inveniendi summabiles per raethodum integrationum etdifferentiationum liab ich schon gebraucht, ehe ich bin auf Petersburg kommen, so sehen wir keinen Widerspruch zwischen den beiden Stellen.Daniel Bernoulli hat, scheint uns, im September 1741 nicht etwadarüber Scrupel empfunden (wie man einen Augenblick glauben könnte!,ob man eine unendliche Reihe differentiiren und integriren dürfe, daswar ihm eine selbstverständliche Wahrheit, sondern nur darüber, obvon Reihengliedern mit nicht ganzzahlig positivem Stellenzeiger dieRede sein könne.

In seinem Briefe an Goldbach vom 7. August 1745 hatte Euler,wie wir oben sagten, von der Umwandlung einer Reihe in einenKettenbruch gesprochen. Diese Stelle benutzen wir als Brücke, umauf seither von uns Vernachlässigtes, auf die Lehre von den Ketten -brüchen überzugehen. Wir haben allerdings schon früher (zuletztS. 92—94) derartige Ausdrücke von Mathematikern benutzt gesehen,aber die praktische Benutzung war dabei überall das Hervortretende,eine Theorie der Kettenbrüche war kaum, ein Name für dieselbenüberhaupt nicht vorhanden. Beides verdankt man Euler, der inzwei Abhandlungen im IX. und XI. Bande der Oommentarii AcademiaePetropolitanae zeigte, welches die Eigenschaften sind, um deren willendie fmcüones continuae — das sind eben die Kettenbrüche — einenähere Betrachtung lohnen.

In dem ersten Aufsatze De fractionibus continnis 1 ) ist sogleich

der unendliche Kettenbruch a „ definirt. Dabei erhalten

b 4 -ß

c + 7

d + etc.

alle durch griechische Buchstaben bezeichnete Zahlen den NamenZähler, während die durch lateinische Buchstaben bezeichneten Zahleninsgesammt (auch a mit eingeschlossen) Nenner heissen. Je nach-dem man « oder a + “ ot l e r a + r , „ u. s. w. der Ausrechnungb b + ß °

, . .... „ r , a ab + u abc 4 - cec -\- ßa

unterwirft, erhalt man Werthe —, , , - ; -r— 3 ——,

’ 1 ’ b ’ bc + ß ’

abcd 4" «cd 4- ßad + yab 4 «y , , , , , ,

-.—t— 3 - 1—;—1 -- u. s. w., welche abwechselnd einen

bcd 4- ßd 4- yo ’

kleineren und einen grösseren Betrag, als der des ganzen unendlichenKettenbruches ist, bedeuten. Man kann dem genauen Werthe desKettenbruches durch Fortsetzung des Verfahrens beliebig nahe kommen 2 ).

*) Commenturii Academiae Petropolitanae ad annum 1737. T. IX, 98—137.a ) Ebenda T. IX, 102: Atque hoc modo fractionem continuam sueccssive abrum-pendo alternative ratores iusto maiores et minores prodibunt; unde qiiantumvisprope ad verum /ractionis continuae valorem accedere licebit.