Keilten seit 1737.

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Zieht man den ersten so gefundenen Wertli vom zweiten, den zweitenvom dritten, den dritten vom vierten u. s. w. ab, so erhält man

die abwechselnd positiven und negativen Differenzen

aß

W7+ß)>

aßy ' aßyä _

(bc -ff ß) (bcd -ff ßdß- yb)’ (bcd + ßd + yb) ( bcde-j- ßde~\- ybe -ff dbc -ff ßd)u. s. w. Diese Differenzen zu a hinzugefügt geben dann selbst wiederden zweiten, dritten, vierten, fünften u. s. w. vorher ermittelten

Näherungswerth, oder der Kettenbruch ist = a ~ — b\bc^+ ß)

_ “fh _

{bc + ß){bcd + ßd-\-yb)

aßy 6

(bcd + ßd -f- yb) (bcde -f- ßde ybe + dbc + ßd)

H-•

Hier kann man

aber neuerdings zusammenfassen

a

T)

—— = —- _ und ebenso ie zwei aufeinanderfolgende Glieder,

b{bc -ff ß) 1 (6 c-ff/}) J n ’

deren erstes positiv und deren zweites negativ ist, in eine regel-mässig positive Summe. Man erhält dadurch die Umwandlung desKettenbruches in eine heftig convergirende Reihe von Brüchen, derenZähler und Nenner einem nach dem Vorhergehenden sich von

selbst ergehenden Gesetze gehorchen 1 ), nämlich a + +

- 5 —r—j——i— m — as ~ ~t~ ’ ’ Die Raschheit der Con-

(bc -ff ß) (bcde -ff ßde -ff ybe + dbc -ff ßSj '

vergenz hängt insbesondere davon ab, dass die Zähler «, ß, y, d ■ ■ ■recht klein, die Nenner a, b, c, d, e ■ ■ ■ recht gross gewählt werden.Sind alle Zähler und Nenner ganze Zahlen, was durch Erweiterungimmer hervorgebracht werden kann, so findet die rascheste Con-vergenz der Reihe, also auch des ihr gleichen Kettenbruches statt,wenn sämmtliche Zähler der Einheit gleich sind. Euler verwandeltnun eesrebene Brüche in Kettenbrüche der letzteren Art und suchtaus ihnen wieder Niiherungswerthe zum ursprünglichen Bruche inkleineren Zahlen. Als Vorgänger auf diesem Gebiete wird aus-schliesslich Wallis genannt 2 ), die Arbeiten, von Huygens aufdiesem Gebiete (S. 93—94) müssen Euler demnach unbekannt ge-blieben sein.

Periodische Kettenbrüche, für welche allerdings ein beson-derer Name nicht angegeben ist, werden dann ausgewerthet. Aus

x = aJr ) , , wird geschlossen 3 ), dass x — a = , *-und

^+1 b-\-x — a

b + • • .

') Commcntnrii Acadcmiae l'ctropolitanue ad annum 1737. T. IX, 105:cui/ts numeratorum ct denominatorum lex cx superiore apontc se prodit. s ) EbendaT. IX, 112. Vgl. auch T. XI, 30. 3 ) Ebenda T. IX, 117.