110. Kapitel.

6 72

= «-|-+]/l +

also z. B. 1 + .! , 1 = Y'2,

und ähnlich

b 1

4 > ‘— “• ~ 2 + _

2 + ' ■ .

erkennt man den Werth eines Kettenbruches, dessen Periodicitätsich über mehr als nur je einen Nenner ausdehnt, z. B. x =(l —J- 1

b + 1

c + +

b+ ic + ' • .

Euler bei dieser Gelegenheit 1 )

« — —

c ~t /c* c

g- -|- y 4 ~ f" 77' Als wahrscheinlich erwähnt

2 + 11 + 1

e^—1

2

7 + 19

die Kettenbruchentwicklungene + 1 = 2 + l1 e —1 6 +_1_

10+11Ä+-..

3 + I5 + 1

2 + 1

T +I

1 +1

4 + -,

und manche andere.

Eine Aufgabe, bei welcher gleichfalls verweilt wird, ist die derUmwandlung von Kettenbrüchen, wie der für e angegebene, beiwelchem die eine arithmetische Progression bildenden Nenner 2, 4,(3, 8 • ■ • durch andere periodisch auftretende 1, 1 unterbrochen werden,in Kettenbrüche ohne periodische Unterbrechung des Gesetzes der

Nenner, z. B. in 2 ) e— -- . . Endlich kommt Euler zu Be-

1 + _■“

5 + 1

10 + 1

14 + 1

18 + _ 1 _

22 + •.

Ziehungen zwischen unendlichen Kettenbrüchen und gewissen Dif-ferentialgleichungen 3 ).

Euler’s zweiter Abhandlung über Kettenbrüche hat' derselbeVerfasser eine solche über unendliche Factorenfolgen: De pro-ductis ex infmitis factoribus ortis 4 ) vorausgeschickt, auf die er siclialsdann bezieht. Auch der in dieser Abhandlung untersuchte Gegen-stand schliesst sich der Reihenlehre eng genug an, dass wir indiesem Kapitel darüber kurz berichten dürfen, wie wir es ähnlichim vorigen Kapitel gehalten haben. Wir erinnern an Euler’s Summirung reciproker Potenzreihen mit Hilfe von Factorenzerlegung( S. 636), wir erinnern insbesondere an die Untersuchungen über eine

‘) Commentarii Academiae PctropoUtanae ad anititm 1737. T. IX, 120—122.*) Ebenda T. IX, 126. 3 ) Ebenda T. IX, 129 sqq. Ebenda 1739. T. XI,

3—31.