Reihen seit 1737.

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transcendente Reihe (S. 633). Wie Euler in der Abhandlung von1730 Beziehungen zwischen Factorenfolgen und bestimmten Integralenaufdeckte, damals noch nicht alles enthüllend, was ihm bekannt war,indem er schon unter dem 13. October 172!) die Definition derGammafunction als unendliche Factorenfolge in einem Briefe anGoldbach ausgesprochen hatte 1 ), bilden solche Beziehungen auch denwesentlichen Inhalt des Aufsatzes von 1739. Euler entnimmt 2 ) hier derälteren Veröffentlichung die Formeln (f -f -g) (f -f- 2r/) • • • (/'-j- mj i =

g n +J\—log x) n dx

und j Y —log xdx— , aus welchen

o

i /

(/■+(« +l)g)'fx 9 (1 — x) n dx

o

er dann weitere Folgerungen zieht. Wir erwähnen von letzteren 3 )

‘x a i dx 9 l dx 7t /* dx

die Formeln - —•lag

x?dx

so wie

mancherlei Factorenfolgen als Auswerthung he

stimmter Integrale von der Gestalt

Wir haben gesagt, dass Euler in seiner zweiten Abhandlungüber Kettenbrüche: De fractionibus continuis observationcs 4 ) sich

auf diese Ergebnisse beziehe. Zu Anfang ist allerdings von he

stimmten Integralen keine Rede, sondern der Kettenbruch

,1 + B

wird als identisch mit der Reihe A + ^^ -f~

C+l)

E + F

Cr + H

BI)F _ Bl)FH</R BS~

+ erklärt, welche, so oft die A, Ji, C, D

alle positiv, im Uebrigen aber beliebig abnehmend oder wachsend

sind, da P=C, Q=*E1>+D, E = GQ + FP, S=Ill + HQ ■■■

ist, als convergent sich erweise, weil jedes folgende Glied kleiner alsdas ihm vorhergehende werde. Wir bemerken beiläufig, dass dieBehauptung der Abnahme der Glieder an sich richtig ist, da z. B.

Bl)FH BDF: (ju

< 1, dass aber sie allein für die

IR + HQ

') Corresp. math. (Fuss) I, 3—4. *) Commenfarii Academiae Petrupoli-

tanae ad annum 1739. T. XI, 5 und 7. s ) Ebenda T. XI, 10, 11, 27. 4 ) Ebenda

T. XI, 32—80.