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llo. Kapitel.

Convergenz der betreffenden Reibe trotz des von Glied zu Gliedwechselnden Vorzeichens nicht ausreicht. Dazu wäre nothwendig,dass die Glieder beim Abnehmen unter jeden angebbaren Werthsinken, was bei der Allgemeinheit, in welcher A, Ii, C, I) ■■■ ge-wählt werden dürfen, keineswegs sicher ist. Euler kümmertsich darum nicht, sondern zeigt nun rückwärts die Verwandlung

der ReiheV?

P + DP

B

BD BDIPQ + QB

BDFH

BS

und der Reihe — — —P <1

in den Kettenbruch

d

n _i_ _

q ' r s "r” t

Q — D + FPQ

B — FP + II QB

S-HQ +

den Kettenbruch

V + h Pl

aq — bp + rtcq* *

br — cq + bdr 8

von welcher Beispiele gerechnet

■dt

werden. Eine eben solche Reihe ist aber nicht selten das Ergeb-nis einer bestimmten Integration, und auf diesem Umwege kommtEuler dazu, ein bestimmtes Integral durch einen unendlichen

Kettenbrueh auszudrücken. Beispielsweise 1 ) istl

in + (oi*_

v m + (v — ft)« + i»(ft -f- v) ( m -j- n) 1

(3 v — ft) + (r — ft)« + 2n(ft + - v) (2 m + «)*

(5 v — 2 it) -f- (v — ii)n -(- •.

Eine andere Gedankenreihe führt zu folgenden Betrachtungen.Wallis hatte, wo er Brouncker’s Kettenbruch für 7t (Bd. II, S. 698)mittheilte, den Satz ausgesprochen, dass « 2 das Product der beiden

unendlichen Kettenbrüche ^ g und

2pi—Tj -f 25_

2(fl—i) + •.

jn\v

(» +1 +1 _

2(« + 1) + 9

2(o+lj+ 25

sei, und Euler hatte schon in der ersten

8(o+i) +

Kettenbruchabhandlung an dieses Ergebniss erinnert 2 ). Jetzt kam erneuerdings auf den gleichen Satz zurück 3 ). Gestatten wir uns(was Euler nicht thut) die abgekürzte Bezeichnung K>_ —

*) Commentiirii Academiae PetropoUtanae ad rtnnum 1739. T. XI, 3G.

*) Ebenda 1737. T. IX, 101. 8 ) Ebenda 1739. T. XI, 40.