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(J75
(" + t) + *_
2(« +D + a_
2(a + i) +86_
2 (« + 1) +
Satz ÄLj • AT X = a 2 , und ihm stehen augenscheinlich beliebig vieleähnliche Sätze zur Seite, welche man erhält, indem man « durch« + 2, durch « + 4, durch o• + (> • • • ersetzt. So ist demnach
ÄLi • K t = o*
(fl + 2.)* - K, ■ K aK 3 K-, = (a + 4) 20 + «) 2 = K 6 ■ K,
und durch Multiplication dieser Gleichungen, wie sie unter einanderstehen und Weglassung der auf beiden Seiten vorhandenen FactorenK u K 3 , K s findet man (« + 2) 2 • (u + t)j 2 W_, = «*•(« + 4) 2 A' 7 ,
«■ + 4 a + 4 A'_
also auch A_
i
fl •
fl -j- 2 fl -j-- 2 fl + ü fl -p 0
Euler nimmt nun an, ohne diese Annahme ausdrücklich inWorte zu kleiden, dass man die Schlüsse fortsetze, bis rechts als
K,
letzter Factor —- erscheint, und dass dieser letzte Ausdruck« + 4 fi + 2 '
sich bei wachsendem u nicht mehr von der Einheit unterscheidet.
So erhält er AT_ i = + 1 + *
2(fl-l) + 9
« fl + 4
_ (t ' fl + 2
ra + 2
2 (a — 1) + 25
2 (« _!)+..
rt+e'a + G”*' ^ en * n ^ er -Abhandlung über unendliche Factorenfolgen gewonnenen Ergebnissen entnimmt nunmehr Euler, dass
fl fl + 4 « + 4 « + 8
ci ~j- *2 ei —J— 2 (i -}- 6 (i — J- ü
Jx aJrX dx-.y 1 — x*
0
1 _ >
Jx a -'(lx : |/l — ado
und somit ist der wiederholt von uns definirte Kettenbruch A_ tdas «-fache des eben angegebenen Quotienten zweier bestimmtenIntegrale.
Auch an verwandten Kettenbrüchen werden ähnliche Kunstgriffegeübt, so dass der Kettenbruch zunächst in eine Factorenfolge, dannin einen Quotienten zweier bestimmter Integrale umgewandelt er-scheint. Durch Einsetzung besonderer Werthe zeigt sich 1 )
*) Commentarii Acadcmiue Petropolitanae ad amtuin 1739. T. XI, 48.