Euler’s Introductio, Band I.

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Der I. Band der Introductio oder die algebraische Analysis zer-fallt in 13 Kapitel, über welche wir in denkbarer Kürze berichtenwollen. Wir bemerken dabei ein für alle Mal, dass Euler es liebt,den Gang seiner Untersuchungen durch geschickt gewählte, lehr-reiche Beispiele zu unterbrechen.

Das 1. Kapitel, Von den Functionen überhaupt, erklärt dieFunction einer veränderlichen Zahlengrösse als einen analytischenAusdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlen-grösse, d. h. einer unbestimmten, allgemeinen Zahlengrösse, welchealle bestimmten Werthe ohne Ausnahme in sich begreift, und ausconstanten Zahlengrössen zusammengesetzt ist. Die Function einerVeränderlichen ist wieder eine Veränderliche. Sie zerfällt in ver-schiedene Unterarten. Algebraische Functionen stehen im Gegen-satz zu Transcendenten, unter den algebraischen Functionen werdenrationale von irrationalen, unter den rationalen ganze vongebrochenen unterschieden. Eine sich anknüpfende Sonderung betrifft eindeutige und mehrdeutige Functionen 1 ). Zur Bezeichnungeinzelner eindeutiger Functionen dienen grosse Buchstaben wie P, Q,11, S, T. Des weiteren wird von graden und ungraden Functionengesprochen. Jene behalten ihren Werth, mag man ihre Veränderliche= -f- h oder = — 1; setzen, diese nehmen durch die beiden erwähn-ten Substitutionen entgegengesetzte Werthe an. Aehnliche Functionenvon y und z nennt man Y und Z, wenn Y auf eben die Art durch yund constante Zahlengrössen bestimmt wird, wie Z durch z undconstante Zahlengrössen.

Das 2. Kapitel, Von der Umformung der Functionen,unterscheidet zunächst zwei Gattungen von Umformungen, je nachdemdieselbe Veränderliche beibehalten oder eine andere Veränderliche anStelle der ersten eingeführt wird. Bleibt die Veränderliche, so bleibtauch die Art der Abhängigkeit ihrer Function von derselben, nurkönnen vielleicht in der neuen Gestalt manche Eigenschaften deut-licher hervortreten. In dieser Beziehung ist die Zerlegung einerganzen algebraischen Function in einfache Factoren von besondererWichtigkeit. Eine ganze Function Z von z, in welcher der Exponentder höchsten Potenz von z gleich n ist, wird n einfache Factoren ent-halten, was ohne Weiteres daraus gefolgert wird, dass /' -\- yz -f- hz~in zwei, f -(- </z -f- hz i -f- iz* in drei einfache Factoren, d. li. in solchezerlegbar sei, in welchen z nur in erster Potenz vorkomme. Manfindet die einfachen Factoren von Z, indem man die Wurzeln derGleichung Z — 0 aufsucht. Aus jedem Wurzel werthe entspringt ein

’) Fmictiones uniformes, multiformes.