111. Kapitel.

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einfacher Factor der Function Z. Die einfachen Factoren des reellenProductes Z sind theils reell, theils imaginär. Letztere treten immerin grader Anzahl auf, und zwei imaginäre einfache Factoren ver-einigen sich dann zu einem reellen Factor 2 ten Grades, den man aucheinen reellen zweifachen Factor nennt. Die ganze Function Zj von zist eindeutig. Wird Z = A bei s = « und Z — B bei z = b, d. h.geht Z von A in B über, während z von a in b übergeht, so kannersterer Uebergang nicht anders als durch alle zwischen A und Bgelegene Zwischenwerthe hindurch erfolgen, d. h. es muss einenzwischen z = a und z — b gelegenen Werth z = c geben, der Z—-0hervorbringt, wenn C zwischen A und B liegt. Mit anderen Worten,wenn Z — A = 0 und Z — B — 0 je eine reelle Wurzel besitzt, somuss, wenn A < (J < B oder A > C > B ist, auch Z — C — 0 einereelle Wurzel besitzen. Ist beispielsweise Z von ungrader Höhe,d. li. Z — 2 2n + 1 -f- az 2n -(- ßz in ~ 1 + • • •, so bewirkt z = oo, dassZ = <x> und z = — ex) dass Z = — cxd wird, mithin haben Z oound Z -j- je einen bekannten reellen einfachen Factor z — undz -)- oo . Alsdann muss .auch Z — 0 = Z einen reellen einfachenFactor besitzen oder z' in + l -|- uz' ln -j- ßz in ~ 1 -(-••• = 0 hat mindestens eine reelle Wurzel. Die Gleichung Z = z- n + uz in ~ 1 +ßz-"~- + ••• 4- vz —A = 0 mit positivem A hat mindestens zweireelle Wurzeln. Die Annahmen z — — oo und z — 0 liefern näm-lich Z — oo und Z= A, zwischen welchen Z = 0 liegt, welchesdurch irgend ein negatives z = — c erzeugt werden muss. Anderer-seits liefern z = 0 und z = oo die Werthe Z = —A und Z = oo,zwischen welchen abermals Z = 0 liegt, welches durch irgend einpositives z = d erzeugt werden muss. Das sind lauter Sätze, autwelche Euler 1749 zurückkam (S. 581). Nun kommt die Zerfällungeiner echtgebrochenen Function in Partialbrüche an die Reihe. Der

einfachste Fall ^ ^ , wo S den einfachen Factor p — <iz

A (p — qz)6’

1/" A.

nicht weiter enthält, wird erledigt durch die Annahme ^

4- oder M — AS + (j> — f iZ) B, woraus A — 1 - ^ ^ J> folgt.

Hierein setzt man 4veil A eine (konstante ist, darf man das)n — qz = 0 und erhält A = ^ . Der verwickeltere Fall,

1 1 ti Cp— 9 -=o)

dass p — qz mehr als einmal als Factor in X vorkomme, und dassalso Partialbrüche mit den Nennern p — qz, (p — qz)-, (p — qz'f ■■■zu ermitteln sind, beschliesst das Kapitel.

Das 3. Kapitel, Von der Umformung der Functionen durchSubstitution, hat die Rationalisirung irrationaler Ausdrücke zum