Euler’s Introductio, Hand I.

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Zweck. So wird y = (« + hz)" durch (a + bz)* = x in rationaleGestalt übergeführt. Ebenso wird (“ f y Y= (—durch ratio-

nale Werthe von z und y erfüllt, indem man den beiden Ausdrücken gemeinsamen Werth in die 'Gestalt x v,n kleidet. Bei

V = V("■ + <>z) (c + dz) setzt Euler * + ^ = x 2 , s = * ,

worauf y = (a -f- bz) x = wird. Eine andere Methode

der Rationalisirung von y = ]//)-(- qz rz 2 besteht darin, dassy = xz Yp oder auch y — x -)- |/r z gesetzt wird, je nachdem poder r positiv ist. Sind beide Constanten p und r negativ, und istzugleich q 1 < 4 pr, so ist y wesentlich imaginär. Ist dagegen p und rnegativ, aber q 2 > -ipr, so ist man im Stande p -f- qz + rz 2— (« -(- hz) (c -|- dz) zu setzen, wie vorher gelehrt wurde. Nebendieser ersten Anwendung von Substitutionen lehrt alsdann Euler einezweite, welche darin besteht, dass er, wenn eine Gleichung zwischeny und z vorliegt, eine dritte Hilfsveränderliche x wählt und Be-ziehungen zwischen y und x sowie zwischen z und x aufsucht, ver-möge deren die ursprüngliche Gleichung erfüllt wird. Sei z. B.<t )/" -f- bz? -f- eyyz ,i =-- 0, so setzt Euler zunächst y = x m z n und erhälta:P ,m z un -f- hz? -f- cxY m z yn +' i = 0 und es kommt darauf an, n so zuwählen, dass aus der neuen Gleichung z in x gefunden werden kann.

Dazu liegen drei Wege vor. Erstens kann an = ß, n = ^ gesetzt

werden, dann ist nach Division durch z? die weitere Behandlung

augenscheinlich. Zweitens kann yn d = ß , n — ^abermals durch z? dividirt werden. Drittens kann

^ gesetzt undan = yn -f- 8 y

n = a gesetzt und durch z an dividirt werden. Andere Beispiele

erfordern und gestatten andere Kunstgriffe.

Das 4. Kapitel, Yon der Darstellung der Functionen durchunendliche Reihen, ist schon durch den einleitenden Paragraphen,welcher zeigt, wie Euler über Reihenentwicklungen dachte, vonhöchster Bedeutung. Die Natur transcendenter Functionen, sagtEuler, dürfte sogar besser zu erkennen sein, sobald dieselben in einersolchen, wenn auch ins Unendliche fortlaufenden Form ausgedrücktsind. Denn ebenso wie die Natur einer ganzen Function am bestendann erkennbar ist, wenn sie nach Potenzen von z entwickelt, alsoauf die Form A -f- Bz -f- Cz 2 -j- Dz 3 -)- ■•• gebracht ist, so ist auchdiese Form, selbst wenn die Anzahl der Glieder unendlich gross ist,am geeignetsten, um sich von der wesentlichen Beschaffenheit aller