080

111. Kapitel.

anderen Functionen eine klare Vorstellung zu bilden. Wir dürfenbei dieser Gelegenheit an die Bemerkung erinnern, welche wir(S. 447) an Newton’s Integration durch unendliche Reihen knüpften.Wenn wir dort eine nur unbewusste Verwandtschaft mit heutigemDenken zu erkennen vermochten, so ist Euler’s Aeusserung von ganzanderer Natur. Mag ihm, wie wir mehr als nur einmal gesagt habenund künftig zu wiederholen haben werden, das Gefühl für die An-forderungen, welche die Mathematik an die von ihr zu benutzendenunendlichen Reihen zu stellen hat, mehr abgegangen sein, als diesesbei Newton der Fall war, den analytischen Nutzwerth der Reihen,wenn wir so sagen dürfen, klar ausgesprochen zu haben, ist Euler’sVerdienst. Die einfachste Art der Reihenentwicklung ist die derDivision bei Umwandlung eines Bruches, und sie erzeugt die re-currente Reihe, deren Namen und erste Untersuchung nach Euler’sAussage De Moivre angehöre. Jene Umwandlung selbst brauchtnicht durch Division vollzogen zu werden. Sie erfolgt besser durchMultiplication des Bruchnenners mit einer versuchsweise unter Be-nutzung unbestimmter Coefficienten aufgestellten unendlichen Reihe.

Euler setzt z. B. - a = A -f- Dz + ^' z ' + + ■ ■ • und erhält

a = (« + ßz) (A + Dz + Cz 2 + Dz 3 + ■■■)*= aA + {«B + ßA)z+ («C+ ßD)z 2 -j- (aD + ßC)z s -f- •••, woraus neben yl = ” die

einander vollständig ähnlich gebauten, die Recursion vermittelndenGleichungen 0 = aD -f- ßA, 0 = af'-j- ßll, 0 =«/>-)- ßC---hervorcrehen. In wesentlich übereinstimmendem Verfahren wird sodann

o

—= A-\- Hz + Czr -f- Dz 3 + • • - und a bz = (a + ßzu -)- ßz yz 1 iii

+ yz 2 ) (A + Dz + Cz 2 + Dz 3 + --.) = aA + («jy + ßA } z +(aC -|- ß l> + yA)z 2 + (aD -f- ßC ylijz 2 gesetzt, woraus

erstlich die zwei Coefficienten A = a -, D = — == und ferner die

unmittelbar nur a, ß, y aber nicht «, b enthaltenden Recursions-gleichungen 0 = aC -f- ßD -)- yA, 0 = aD -)- ßC -)- yD ■ ■ ■ entstehen.Je mehr Glieder der Nenner « -f ßz + yz 2 + ■ • • besitzt, um sozahlreicher sind die Glieder der einzelnen Recursionsgleichungen, und

die von den Coefficienten des Zählers a-\-bz-\ -abhängenden Zahlen

A , D ■ ■ ■ mehren sich in gleicher Weise. Voraussetzung des Ver-fahrens ist ein von Null verschiedenes a, da sonst die Entwicklungmit A = — = '■c beginnen müsste. Unter der gleichen erfüllten

U °

Voraussetzung einer von Null verschiedenen Anfangsconstaute desNenners wird auch der Bruch in eine nach steigenden Potenzen von zfortschreitende recurrente Reihe verwandelt, dessen Nenner die