Euler's IntroductioJBand I.

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n te Potenz von 1 — oz ist, während im Zähler Glieder bis zur Höhevon z n ~ 1 Vorkommen. Setzt man nach vollzogener Entwicklunga = z = 1, so geht die Reihe in eine arithmetische Progressionn — l ter Ordnung über, welche somit auch eine recurrente Reihe ist.Euler geht alsdann zur Entwicklung von Ausdrücken über, derenNenner eine Potenz des Polynoms 1 — uz — /3z 3 — • • • ist, fernerzu dem bis dahin ausgeschlossenen Falle, dass die Anfangsconstantedes Nenners Null wird, und den er dadurch erledigt, dass er z, oderwelche Potenz z* von z dem wirklich vorhandenen Anfangsgliede desNenners angehört, als Factor heraussetzt. Dann ist die ohne Berück-sichtigung dieses Factors entwickelte Reihe noch durch z“ zu divi-diren. Sie behält dabei ihren Charakter als eine nach steigenden

Potenzen von z fortschreitende Entwicklung, beginnt aber mit — •

m ^

Nun folgen die Reihen für (]’ -f- t/) n und allgemeiner für die

te

— Potenz von Polynomen. Von einem Beweise ihrer Richtigkeit

ist keine Rede. Der Binomialsatz und Polynomialsatz tritt bei ge-brochenem Exponenten in Anwendung, als wenn es sich von selbstverstände.

Im 5. Kapitel, Von den Functionen zweier oder mehrererVeränderlichen, fällt das Hauptgewicht auf die homogenenFunctionen, deren Name 1726 von Johann Bernoulli 1 ) einge-führt worden war. Ist V eine homogene Function w ter Dimensionvon y und z, so wird die Substitution y — uz zu dem Producte vonz n in eine Function von u führen. Ist n = 0, d. h. ist V eineFunction nullter Dimension von y und z, so wird, wegen z° = 1,die Substitution y — uz dahin führen, dass V als Function von uallein erscheint.

Das 6. Kapitel, Von den Exponentialgrössen und denLogarithmen, schildert das Wesen der genannten Functionen, wo-bei die Behauptung auftritt, ausser den Potenzen der Basis a gebees keine Zahl h mit rationalem Logarithmus, nebst dem unbewiesenenZusatze, der Logarithmus von b könne auch keine irrationale Zahlsein und müsse deshalb zu den Transcendenten gerechnet werden.

') Commentarii Academiae Petropolitanae T. I, abgedruckt in Job. Ber-noulli Opera III, 108—124: De integrationibus aequationum differentialium.In § IX dieser Abhandlung heisst es: ... p et q designant funetiones rationaleset homogeneas indeterminatarum x et y utcumque inter se complicatarum atquepermixtarum, modo indeterminatae in singulis terminis eandem habeant exponen-tium summam propter quod funetiones, quae ita sunt comparatae, . . . vocohomogeneas.

Cantok, Geschichte der Mathematik. 111, 3.

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