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111. Kapitel.

Von den zur Anwendung der Logarithmen eingeschalteten Beispielennennen wir zwei. Einmal fragt Euler, wie gross nach 100 Jahrendie Bevölkerung eines Landes sein werde, welche jetzt aus 100 000Menschen bestehe und sich jährlich um ihren dreissigsten Theil ver-mehre. Wir erkennen hier einen Vorläufer der schon (S. 346) er-wähnten Untersuchungen Euler’s von 1760 über Bevölkerungs-verhältnisse. Ein andermal fragt Euler nach der Anzahl x derJahre, welche zur Tilgung einer mit p Procent verzinslichen Schuld nerforderlich sei, wenn jährlich für Zins und Rückzahlung die Summe h

verwandt werde. Unter Benutzung der Abkürzung 10 -=» findet

Euler die Gleichung n*a = n ^~^, welche man neuerdings die

Amortisationsgleichung zu nennen liebt, und folgert aus ihr

_log b — log (6 — (« — 1) a)

log n

Das 7. Kapitel, Von der Darstellung der Exponentialgrossen und der Logarithmen durch Reihen, giebt seinen In-halt durch die Ueberschrift aufs Deutlichste an. Der Gedankengangähnelt sehr dem, welchen Halley 1695 eingeschlagen hatte (S. 81),ohne dass auf diesen Schriftsteller verwiesen wäre. Wir haben diesesSchweigen wohl weniger daraus zu erklären, dass Euler Halley’sAbhandlung nicht gekannt hätte, als wahrscheinlicher daraus, dass erDinge, welche seit mehr als fünfzig Jahren der Oeffentlichkeit au-gehörten, als wissenschaftliches Gemeingut betrachtete, von welchemJeder ohne Quellenangabe Gebrauch machen dürfe. Sei a, die Basisdes zu wählenden Logarithmensystems, grösser als 1, sei ferner aeine unendlich kleine positive Zahl, so wird a"' = 1 + xl>, wogleichfalls positiv unendlich klein ist und etwa = kco gesetzt werdendarf. Ist a"’= 1 ha, so ist q = log (1 + kco) in dem Logarithmen-systeme von der Basis a. Erhebt man a m = 1 + ^co auf diei te Potenz mit vorläufig beliebigem i, so wird a'”‘ = (1 -f- Am)' =

1 i] ;a _L _ ‘ ~ 4 fr-to 2 -4- •••. Ist aber i = Z und z endlich, sowird i = oc, zugleich aber auch coi = z und a = 4- Diese Sub-stitutionen liefern a : = 1 -j- kz -f- ^ k~z 2 + ^ x . ^."s t ! "' ^ ^ 4* " ‘ •

Bei i = <x streichen sich die in den Zählern und Nennern auf-tretenden / enthaltenden Factoren gegen einander, und man erhält

a‘ = 1 + kz + ^4, -f- • mit endlichen a, k, z. Wird

vollends z= 1, so zeigt sich der zwischen a und k obwaltende Zu-

k k * k 3

sammenhang «=!-{- -f- ^ t 0 s Der Ausdruck