Euler'8 Introductio, Hand I.

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1 + k &>)*', welcher, wie wir sahen, den Werth 1 übersteigt,

kann als 1 + x bezeichnet werden. Alsdann ist einerseits toi =

l i

l°g( 1 + x), andererseits 1 -)- /rer = (1 + x )*’, ka = (1 -j- x)‘ — 1,

_ 1 r r * s *'-i i * s (t i) (2 ( i) n „ . .

~ k l x 12 “ + TäTs -- J • Bei ! = co ver-

einfachen sich wieder die i im Zähler und im Nenner mit sichführenden gebrochenen Coefficienten, und mit Benutzung von

a i = log (1 -(- x) erhält man log (1 -f- x) = 4 (x — v' + ~ — • • •) •

Diese Beihe verhilft alsdann zur Ermittelung von k aus «, was ausJe k* k 3

n = 1 + j + y 7 ö + 1 .. 2 . '1 + ' nic ht zu erreichen war. Sei näm-

lich 1 x = n f x — a 1, log (1 -(- x) — log a = 1, so geht dieReihe über in 1 = j[ a ~- — ( " “ ^ -f -], beziehungs-

• • •- Bei a = 10 wird

. , a—1 («— 1)* . (a — 1)

weise in k = —*---- 4- --

1 9 * a

y y « y »

k = j 2 - H - • • • eine Reihe, von welcher Euler in fast naiver

Weise sagt, es sei schwer einzusehen, wie sie den Werth 2,3025Xhaben könne 1 ). Dazu gelangt er durch folgende Schlüsse. Neben

k log 11 -)- x) = x — - -)- ' g -wird bei negativ gewähltem x auch

k log (1 x) = x - - -—-sein, und Subtraction führt zu

k , l -)- x

, 1 x x , x° . x°

r=x = ! + T + 5

+

Jetzt setzt Euler 1 ~^ x = a.

wodurch log j = 1 und x = **- j wird. Dann zeigt sich

2 = a + l + ¥l« + i) + 5 ViT+J + •• • und bei a = 10 die raschzur Ermittelung des entsprechenden k führende Reihe 4 = - a

1 / 9 \3 i / y \5

4“ ‘sin/ "5 ln / “t“ '' '■ ^ird aber k als bekannt angenommen,z. B. k = 1 so geht 1 7+ in 1 -4- — _i_ —.

4* 1 : . 3 + ''' über, einen Werth, der durch e bezeichnet die Basis

der natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen heisst, undden Euler auf 23 Decimalstellen berechnet angiebt. Durch u — ek= 1 geht = (1 + ktoY über in e" J ‘ =(l -f ß y, und da bei

ai = z, a = 4 war, so hat man r= = (l + 4)' _ . Wir bemerken

= ec)

'i Euler, Introductio I, § 120 am Schlüsse.

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