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111. Kapitel.
dabei beiläufig, dass der Sonderfall (l + ^) _ ) = 1 + 1 -f-
^4- -|- schon am 30. Januar 1728 im Besitze von Daniel
Bernoulli war, der ihn damals brieflich Goldbach mittheilte 1 ).
Das 8. Kapitel, Von den transcendenten Zahlengrössen,welche aus dem Kreise entspringen, nimmt die auf 127 De-cimalstellen angegebene Zahl n und die trigonometrischen Functionenin Untersuchung. Mittels der bekannten Formeln für den Sinus undden Cosinus zusammengesetzter Winkel kommt Euler leicht zu denGleichungen
sin ('2y + 2 ) — 2 cos y sin (y -f- «) — sin zcos (2 y -)- z) — 2 cos y cos (y -f- 2 ) — cos 2 ,
welche Recursionen darstellen, deren Fortgang einleuchtet, wenn zdurch y -(- z ersetzt wird, was beliebig oft geschehen kann. Auch bei
Ausführung der Multiplication (cos y-j~Y — 1 sin v) ( cos z 4~ V — 1 sin z)— cos (?/-{- 2 ) + y—1 sin (y bedient sich Euler der Formeln
cos y • cos z — sin y ■ sin z = cos (y + 2 ); cos y • sin z -f- sin y • cos z =sin (y _)_ ^). Die fortgesetzte Multiplication führt allmälig zu(cos z + y— 1 sin 2 )" = cos >12 + Y — 1 sin nz, mit n als ganzer po-sitiver Zahl, was Euler allerdings zu betonen unterlässt, und dannweiter zu 2 cos nz = (cos 2 -f- Y — 1 sin Z Y 4" ( cos z — Y — 1 sin Z Yund zu 2 y— 1 sin nz = (cos 2 + Y — 1 sin 2 )" — (cos 2 — Y — 1 sin*)".Die Binominalentwicklung der hier vorkommenden M t|,n Potenzenliefert Werthe von cos nx und von sin nx ausgedrückt durch Pro-ducte von Potenzen von cos 2 und von sin 2
„ n(n —1) „ „ . ,
cos nz = cos 2 ” — Aj—cos z n ~~ S1112-
+
n (n — 1) (n — 2) (n — 3)
1 • 2 ■ 3 • 4
—-- cos z n 4 sin z* —
sin nz — j cos 2 "
n(n — 1) (11 — 2)sin 2 --—— 4 --- cos 2 "
. n (n — 1) • • • (»1 — 4)
+ ———v- - cos 2
1 ■ 2 • • • 5
1-2-35 sin 2 5
Sill z°
Ist nz — v und dabei n unendlich gross, 2 unendlich klein, so kanncos 2=1, sin 2 = 2 =* gesetzt werden nebst denjenigen Verän-derungen der auftretenden Brüche in Bezug auf n, welche im vorher-gehenden Kapitel benutzt waren. Man erhält die Reihen cos r =
1_A
-t. 4. - _ ...
1 ■ 2 ‘ 1 2 • 3 4 ’
Sill V
V --
r, . i’-
Uh~3 •" 1-273 4 5 ’“‘
1) ('orresp. math. fFuss) II, 24G.